TU Wien:Mathematische Methoden des Visual Computing VU (Panholzer)/Übungen SS16/Beispiel 181

Zeigen Sie, dass die Reihe $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2+x^2}$ auf ganz $ℝ$ gegen eine stetige Grenzfunktion $f(x)$ konvergiert und berechnen Sie ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$

Lösung

Der Satz von Weierstraß (Satz von Minimum/Maximum) besagt:

$|f_n(x)|\le M_n$

Deshalb kann man für die gegebene Reihe folgendes annehmen:

$|\frac{1}{n^2+x^2}|\le |\frac{1}{n^2}|$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ ist die Teleskopsumme

Somit konvergiert die Reihe gleichmäßig in $ℝ$ (gilt aber nur für abgeschlossene Folgen! lt. dem Satz, ansonsten muss man eine Fallunterscheidung machen.)

Die Grenzfunktion ist auch stetig:

$\underset{A\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^A\frac{1}{n^2+x^2}$