TU Wien:Mathematische Methoden des Visual Computing VU (Panholzer)/Übungen SS16/Beispiel 181

Zeigen Sie, dass die Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+x^{2}}}$ auf ganz $\mathbb {R}$ gegen eine stetige Grenzfunktion $f(x)$ konvergiert und berechnen Sie $\int _{0}^{\infty }f(x)dx$

Lösung

Der Satz von Weierstraß (Satz von Minimum/Maximum) besagt:

$\vert f_{n}(x)\vert \leq M_{n}$

Deshalb kann man für die gegebene Reihe folgendes annehmen:

$\vert {\frac {1}{n^{2}+x^{2}}}\vert \leq \vert {\frac {1}{n^{2}}}\vert$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ ist die Teleskopsumme

Somit konvergiert die Reihe gleichmäßig in $\mathbb {R}$ (gilt aber nur für abgeschlossene Folgen! lt. dem Satz, ansonsten muss man eine Fallunterscheidung machen.)

Die Grenzfunktion ist auch stetig:

$\lim \limits _{A\rightarrow \infty }{\int _{0}^{A}{\frac {1}{n^{2}+x^{2}}}}$