TU Wien:Mathematische Methoden des Visual Computing VU (Panholzer)/Übungen SS16/Beispiel 181

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Zeigen Sie, dass die Reihe \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + x^2} auf ganz  \mathbb{R} gegen eine stetige Grenzfunktion f(x) konvergiert und berechnen Sie  \int_0^{\infty} f(x) dx

Lösung[edit]

Der Satz von Weierstraß (Satz von Minimum/Maximum) besagt:

 \vert f_n(x) \vert \leq M_n

Deshalb kann man für die gegebene Reihe folgendes annehmen:

 \vert \frac{1}{n^2 + x^2} \vert \leq \vert \frac{1}{n^2} \vert

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} ist die Teleskopsumme

Somit konvergiert die Reihe gleichmäßig in \mathbb{R} (gilt aber nur für abgeschlossene Folgen! lt. dem Satz, ansonsten muss man eine Fallunterscheidung machen.)

Die Grenzfunktion ist auch stetig:

 \lim\limits_{A \rightarrow \infty}{\int_{0}^{A} \frac{1}{n^2 + x^2}}