TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS13/Beispiel 381

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Angabe[edit]

Lösen Sie die folgende Aufgabe mit Hilfe der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren.
Berechnen Sie den maximalen Wert von 3x+2y unter der Nebenbedingung x+y^2 = 0

Lösungsvorschlag[edit]


Die Nebenbedingung kann als folgende Funktion angegeben werden:
g(x,y) = x+y^2

Dann können wir die Lagrange-Funktion aufstellen:
\Lambda(x,y,\lambda) = 3x+2y+\lambda \cdot (x+y^2)

Von dieser bilden wir die partiellen Ableitungen für alle gesuchten Variablen und setzen diese Null:
\Lambda_x(x,y,\lambda) = 3+\lambda\; \stackrel{!}{=}\; 0
\Lambda_y(x,y,\lambda) = 2+2y\lambda\; \stackrel{!}{=}\; 0

Außerdem setzen wir die Funktion der Nebenbedingung gleich Null:
g(x,y) = x+y^2\; \stackrel{!}{=}\; 0

Somit haben wir ein lösbares Gleichungssystem bestehend aus 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
Die Unbekannten haben folgende Lösungen:
\lambda = -3
x = -\frac{1}{9}
y = \frac{1}{3}

Woraus sich 1 Extrema ergibt:
(-\frac{1}{9}, \frac{1}{3})