TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS13/Beispiel 381

Angabe

Lösen Sie die folgende Aufgabe mit Hilfe der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren.
Berechnen Sie den maximalen Wert von $3x+2y$ unter der Nebenbedingung $x+y^2=0$

Lösungsvorschlag

Die Nebenbedingung kann als folgende Funktion angegeben werden:
$g(x,y)=x+y^2$

Dann können wir die Lagrange-Funktion aufstellen:
$\Lambda (x,y,\lambda )=3x+2y+\lambda \cdot (x+y^2)$

Von dieser bilden wir die partiellen Ableitungen für alle gesuchten Variablen und setzen diese Null:
${\Lambda }_x(x,y,\lambda )=3+\lambda \stackrel{!}{=}0$
${\Lambda }_y(x,y,\lambda )=2+2y\lambda \stackrel{!}{=}0$

Außerdem setzen wir die Funktion der Nebenbedingung gleich Null:
$g(x,y)=x+y^2\stackrel{!}{=}0$

Somit haben wir ein lösbares Gleichungssystem bestehend aus 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
Die Unbekannten haben folgende Lösungen:
$\lambda =-3$
$x=-\frac{1}{9}$
$y=\frac{1}{3}$

Woraus sich 1 Extrema ergibt:
$(-\frac{1}{9},\frac{1}{3})$