TU Wien:Mathematische Methoden des Visual Computing VU (Panholzer)/Übungen SS16/Beispiel 86

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\iint_B x*ln(y) \,dx\,dy ,wobei B \subset \mathbb{R}^2 der Bereich { (x,y) | y\geq |x| und  1 \leq x^2 + y^2 \leq 3 } sei.

In diesem Beispiel geht es darum, die richtigen Grenzen für das Bereichsintegral zu finden, da wir aber keinen Rechtecksbereich oder Dreiecksbereich haben, brauchen wir ein paar Überlegungen. Wir wissen aufgrund von y\geq |x|, dass wir die ersten Grenzen auf der Mediane (und deren Spiegelung) haben. Diese Grenze liegt, wenn man sich das aufzeichnet genau zwischen  \pi/4;3\pi/4 . Des Weiteren wissen wir, dass  1 \leq x^2 + y^2 \leq 3 ein Paraboloid ist, wodurch wir die Grenzen  \sqrt{3};\sqrt{1} haben. (Die Wurzel bekommt man deshalb, wenn man die Ungleichung umformt. Die Skizze im Anhang verdeutlicht diese Grenzen.

Man setzt jetzt diese Grenzen ein und berechnet das Integral und bekommt  0 heraus. Das bedeutet, dass die gegebene Funktion nicht im angegeben Bereich liegt.