TU Wien:Mathematische Methoden des Visual Computing VU (Panholzer)/Prüfung 2023-05-20

1. Gegeben sei die Funktion $f(x,y)=2x+3y$ und die Nebenbedingung $(x+1{)}^2+y^2=1$
   1. Berechne mögliche relative Extrema mithilfe der Methode der Lagrange'schen Multiplikatoren. (20P)
   2. Was sind die absoluten Extrema der Funktion unter obiger Nebenbedingungen? Begründe deine Antwort. (5P)
2. Berechne das folgende Bereichsintegral $\int {\int }_B(x+y{)}^{2}dxdy$ in dem Bereich gegeben durch $x^2+y^2\le 1$.
   Hinweis: Führe einen Koordinatenwechsel auf Polarkoordinaten durch. (25P)
3. Gegeben sei die Funktion $f(t)=t$ für $-\pi \le t<+\pi$ mit $f(t)=f(t+2\pi )$.
   1. Berechne die Fourierreihe (reele oder komplex) von $f(t)$. (16P)
   2. Leite daraus die Gültigkeit der Formal $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}sin(n)=\frac{1}{2}$ her. (9P)
4. Theoriefragen zu Abtasttheorem
   1. Wie ist die Funktion $si$ definiert? Zeichne eine Skizze. (5P)
   2. Unter welchen Bedingungen ist die Abtastformel anwendbar? (10P)
   3. Gegeben seien folgende Funktionen und ihre Fourier-Transformierten/Spektralfunktionen. Ist die Abtastformel hier anwendbar, wenn $\Delta t=1$? gewählt wird (10P)
      1. {drei Funktionen + jeweilige Spektralfunktionen waren gegeben}