TU Wien:Mathematisches Arbeiten VU (Hetzl)/Übungen 2023W/Beispiel 4

Aufgabe 1. Seien n, m, k ganze Zahlen. Geben Sie realistische Beweise der folgenden Aussagen an:

a) n | m und m | k impliziert n | k
b) n ≡ 0 (mod m) impliziert $\textstyle {n^{2}}$ (mod m)
c) Falls n gerade ist und m ungerade ist, dann ist n ⋅ m gerade.

Aufgabe 2. Übersetzen Sie die folgenden Aussagen (genau genug um einen Beweis oder eine Widerlegung durchzuführen) in die Prädikatenlogik. Geben Sie realistische Beweise oder Widerlegung dieser Aussagen an.

a) Alle Primzahlen sind ungerade.
b) Sei k ein gemeinsamer Teiler von n und m. Dann ist ${k^{2}}$ ein Teiler von n ⋅ m.

c) Jeder Teiler von n+m ist ein Teiler von n oder ein Teiler von m.

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Lösungsvorschlag von XXX

Aufgabe 1)

a) Sei n | m und m | k, dann gibt es ganze Zahlen a und b, sodass m = a ∙ n und k = b ∙ m. Das heißt k = b ∙ a ∙ n, also gilt n | k

b) Sei n  0 (mod m), dann gilt n = a ∙ m. Quadrieren führt zu n² = a² ∙ m². Da a² ∙ m² ein Vielfaches von m ist, gilt n² | m, wodurch n²  0 (mod m) gilt.

c)·Sei n = 2a und m = 2a + 1, bedeuted dass n ∙ m = 2a ∙ (2a + 1) = 2 ∙ (2a²+a), wodurch n ∙ m gerade ist.

Aufgabe 2)

a)

P(x) … x ist eine Primzahl

U(x) … x ist ungerade

∀x(P(x) ⇒ U(x))

Die Aussage ist falsch, da 2 eine Primzahl, aber nicht ungerade ist.

b)

T(x, y) … x teilt y

∀k(T(k, n) und T(k, m) ⇒ T(k²,n ∙ m)

Die Aussage ist richtig, wenn nämlich k ein Teiler von n und m ist, dann existieren ganze Zahlen r und s, so dass n = kr und m = ks. Daher ist n∙m = k²rs, was zeigt, dass k² ein Teiler von n∙m ist.

c)

T(x, y) … x teilt y

∀x(T(x, n+m) ⇒ (T(x, n) oder T(x, m)))

Die Aussage ist falsch, denn wenn n = 2 und m = 3, dann ist 5 ein Teiler von n+m, aber 5 ist weder ein Teiler von n noch von m.