TU Wien:Mathematisches Arbeiten VU (Hetzl)/Übungen 2023W/Beispiel 5

Aufgabe 1. Beweisen Sie folgende Aussagen
a) Für alle m, n ∈ $\mathbb {N}$ mit m, n ≥ 1 gilt: Falls m < n und mn < 5 dann ist m = 1.
b) Für alle x, y ∈ $\mathbb {R}$ gilt |x-y| = 2* max(x,y) - x - y.
c) Für alle n ∈ $\mathbb {N}$ gilt: n ist gerade genau dann wenn $n^{2}$ gerade ist.

Schreiben Sie realistische Beweise. Drücken Sie sich dabei möglichst klar und präzise aus. Geben Sie an welche Beweistechnik(en) Sie beweisen.

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Lösungsvorschlag von Marco Z.

a) Indirekter Beweis

∀m,n ∈ $\mathbb {N}$: (m,n) ≥ 1 ∧ m < n ∧ ((m ⋅ n) < 5) ⇒ m = 1

Für m ≠ 1:

m < n ∧ (m ⋅ n) < 5

⇒ m < (m+1) ∧ (m ⋅ (m+1)) < 5

⇒ 2 < 2+1 ∧ (2 ⋅ 2+1) < 5

⇒ 2 < (3) ∧ (2 ⋅ 3) < 5

⇒True ∧ False = False <-- Hier ist der Widerspruch

⇒ ¬∃n ∈ $\mathbb {N}$ \ {1}: ((m,n) ≥ 1) ∧ (m < n) ∧ ((m ⋅ n) < 5)

b) Fallunterscheidung

∀x,y ∈ $\mathbb {R}$:|x-y| = 2 ⋅ max (x,y) - x - y.

Fall 1. x > y

|x-y| = 2 ⋅ max(x,y) - x - y = 2 ⋅ x - x - y = x-y

Fall 2. y > x

|x-y| = 2 ⋅ max(x,y) - x - y = 2 ⋅ y -x - y = y-x

Fall 3. y = x

y=x

|x-x| = 2 ⋅ max(x,x) - x - x = 2 ⋅ x - x - x = 0

c) Kontraposition

∀n ∈ $\mathbb {N}$: 2 | $n^{2}$⇔ 2 | n

k ist ein Faktor

n ∈ $\mathbb {N}$: 2 ∤ n ⇒ ∃k: 2⋅k + 1 = n

⇒ $n^{2}$ = (2⋅k+1)² = (2⋅k+1)⋅(2⋅k+1) ≡ 1 mod (2)

⇒ 2 ∤ $n^{2}$

⇒ 2 | $n^{2}$ 2 | n

2 | n ⇒ 2 | $n^{2}$

⇒ n = ∃n: k*n = 2 ⇒ $n^{2}$ = ∃n: (k*n)² = 2

⇒ 2 | n ⇔ 2 | $n^{2}$