TU Wien:Mathematisches Arbeiten VU (Hetzl)/Übungen 2023W/Beispiel 6

Aufgabe 1. Geben Sie eine beschreibende Darstellung (verwenden Sie die Notation {x I P(x)} oder eine ihrer in der Vorlesung beschriebenen Abkürzung) der Menge ...

a) ... der Primteiler eines gegebenen n ∈ $\mathbb{Z}$
b) ... der reelen Zahlen die größer als ihr eigenes Quadraht sind
c) ... der k-ten Wurzel eines gegebenen z ∈ $ℂ$
d) ... der Teilmengen der ganzen Zahlen die keine zwei relativ primen Elemente enthalten

Aufgabe 2. Seien A, B, C Mengen. Beweisen oder widerlegen Sie:
a) $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$
b) $(A\cup B)\cap (B^{\complement }\cup C)\subseteq A\cup C$

c) $P(A)\times P(B)=P(A\times B)$

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Lösungsvorschlag von Marco Z.

Aufgabe 1.

a) A = (p ∈ $\mathbb{P}$: p | (n ∈ $\mathbb{Z}$))

b) B = (g ∈ $ℝ$: g>g²)

c) C = (w: w = $\sqrt[k]{z\in ℂ}$)

d) D = $(t\subseteq \mathbb{Z}:\mathrm{\forall }x1,x2:ggt(x1,x2)\ne 1$

Aufgabe 2.

a)

$\subseteq$ : x sei ein Element der linken Seite. Das kartesische Produkt besteht also nun aus den Paaren (x,y) mit $x\in A$ und $y\in (B\cup C)$. Daraus folgt $y\in (B\cup C)\Rightarrow y\in B\cup y\in C\Rightarrow ((x,y)\in A\times B)\cup ((x,y)\in A\times C)$ [Wenn (x,y) möglich ist, dann ist y Element von B oder C, folglich muss (x,y) auch ein Element von A x B oder A x C sein.]

$\supseteq$ : x sei ein Element der rechten Seite. Das kartesische Produkt besteht also nun aus den Paaren (x,y) mit $x\in A$ und $y\in (B\cup C)$. Daraus folgt $((x,y)\in A\times B)\cup ((x,y)\in A\times C)\Rightarrow y\in B\cup y\in C\Rightarrow y\in (B\cup C)$.

Alternativ:

Es gilt

$x\in A;y\in (B\cup C)\Rightarrow y\in B\cup y\in C\Rightarrow ((x,y)\in A\times B)\cup ((x,y)\in A\times C)$

und

$x\in A;((x,y)\in A\times B)\cup ((x,y)\in A\times C)\Rightarrow y\in (B\cup C)\Rightarrow y\in B\cup y\in C$

b)

Nicht ganz Richtig - mit der Prompt " (A or B) and ((Complement B)or C) subset (A or C)" kommt aber das selbe Venn Diagramm bei wolfram-alpha hinaus

Links das Venn-Diagramm der Aussage.

Es folgt eine Wahrheitstabelle für alle Mengen

C	B	A	$(A\cup B)$	$(B^{\complement }\cup C)$	$(A\cup B)\cap (B^{\complement }\cup C)$	$A\cup C$
0	0	0	0	1	0	0
0	0	1	1	1	1	1
0	1	0	1	0	0	0
0	1	1	1	0	0	1
1	0	0	0	1	0	1
1	0	1	1	1	1	1
1	1	0	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1

c)

nehmen wir an $X=\{\mathrm{\varnothing }\},Y=\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}$ daraus folgt:

$X\times Y=\{<\mathrm{\varnothing },\mathrm{\varnothing }>,<\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}>\}$

das Kreuzprodukt $P(X\times Y)$ hat $2^2$ Elemente, während $P(A)\times P(B),2\ast 4=8$ Elemente hat. Es stimmt also nicht einmal die Anzahl der Elemente überein.