TU Wien:Modellbildung in der Physik VU (Husinsky)/Übung WS13/Beispiel 1.3

[1 Punkt]Gegeben ist die (nicht) abgebildete Geschwindigkeitskurve. Stellen Sie unter der Annahme, dass $x=0$ bei $t=0$ ist, gültige Gleichungen für $x(t)$,$v(t)$ und $a(t)$ auf, bei denen für alle Konstanten die richtigen Werte eingesetzt sind.

Anmerkung: Die fehlende Geschwindigkeitskurve besteht aus einer Geraden mit den zwei Punkten $v(t=0)=50$ und $v(t=10)=-50$.

Beschleunigung

$a(t)={\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {v(t=10)-v(t=0)}{10-0}}=-{\frac {100}{10}}=-10$

Geschwindigkeit

Alternative 1: Integration der Beschleunigung

$a_{const}={\frac {dv}{dt}}\rightsquigarrow a_{const}dt=dv$

$\int _{0}^{t}(-10)dt=\int _{50}^{v(t)}dv\rightsquigarrow (-10)t=v(t)-50$

$v(t)=(-10)t+50$

Alternative 2: Aufstellen der Geradengleichung

Allgemeine Form der Geradengleichung: $y=k\cdot x+d$

Die Steigung $k$ entspricht der von uns gerade berechneten Beschleunigung, der Ordinatenabstand ist unsere Startgeschwindigkeit.

$v(t)=a\cdot t+v_{0}=-10\cdot t+50$

Weg

$v(t)={\frac {ds}{dt}}\rightsquigarrow v(t)dt=ds$

$\int _{0}^{t}(-10)t+50dt=\int _{0}^{x(t)}ds$

$(-10){\frac {t^{2}}{2}}+50\cdot t=x(t)$