TU Wien:Signale und Systeme 1 VU (Prechtl)/Ausarbeitung Mündl. Prüfung

Basierend auf den Fragen aus der Fragensammlung und der Ausarbeitung. Diese Ausarbeitung entstand als Vorbereitung auf die mündliche Prüfung im März 2017. Falls hier Fragen fehlen, Antworten falsch sind, etc. bitte auskorrigieren.

Kapitel 1

• Systemantworten erläutern bzw. definieren. Was versteht man unter dem Begriff eines Zustandes? Was sind Zustandsgrößen? Wie viele Zustandsgrößen gibt es in einem System n-ter Ordnung?

Skriptum S.19-27

Nullzustandsantwort: Der Nullzustand eines Systems kann als $\theta =0$ angenommen werden und es gilt daher ${\mathcal {S}}[0;{\underline {\theta }}]=0$. Ausgehend vom Nullzustand ist die Nullzustandsantwort die Reaktion auf ein Eingangssignal $u(\tau )$, i.e. $y_{0Z}={\mathcal {S}}[u;{\underline {0}}]$.

Nulleingangsantwort: Wenn als Eingangssignal $u(\tau )=0$ anliegt und das System sich in einem allgemeinem Anfangszustand ${\underline {x}}(\tau _{0})={\underline {\alpha }}$ befindet, so wird die Reaktion als Nulleingangsantwort bezeichnet, i.e. $y_{0E}={\mathcal {S}}[0;{\underline {\alpha }}]$.

Systemantwort bzw. vollständige Antwort: $y(\tau )=y_{0E}(\tau )+y_{0Z}(\tau )$

Stoßantwort bzw. Impulsantwort: Nullzustandsantwort auf den Dirac-Stoß im Zeitnullpunkt

Sprungantwort: Nullzustandsantwort auf die Sprungfunktion bzw. Heaviside-Sprung im Zeitnullpunkt

Zustandsgrößen: Der Zustand bzw. Energieinhalt eines unabhängigen Energiespeichers wie Kondensator oder Spule. Bei Kondensator ist die Spannung der Zustand und bei Spulen der Strom.

System n-ter Ordnung: Ein System mit exakt n Zustandsgrößen.

• Wie geht man vor, wenn man in einem System mit einer Eingangsgröße und einer Ausgangsgröße (die physikalischen Größen sind) bezogene Variablen einführen will? Wozu führt man sie ein?

Skriptum S.2-3

Für die variablen Größen eines Systems werden passende Bezugswerte eingeführt. Passende Bezugswerte wären die Periodendauer, Maximalwert oder stationäre Werte. Damit bezogene Größen als solche erkannt werden, werden neue Kernbuchstaben eingeführt. Durch die Bezugswerte wird die Anzahl der Parameter vermindert und die Einheiten fallen weg, aber die Umwandlung der bezogenen Größen muss als weiterer Schritt erfolgen.

$\tau =t/T_{B}$
$u(\tau )=u_{E}(\tau \cdot T_{B})/U_{EB}$
$y(\tau )=u_{A}(\tau \cdot T_{B})/U_{AB}$

• Was versteht man unter dynamischen Systemen? Eingangs- und Ausgangs-Zustandsgrößen; Skizze für Beschreibung bei Verwendung bezogener Variablen; Vor- und Nachteile; Warum für Spule Strom und bei Kondensator die Zustandsgröße?

Skriptum S.3-4

• Was sind lineare Systeme? Welches sind die Voraussetzungen für ein System mit einem Eingang und einem Ausgang, damit es als linear bezeichnet werden kann? Welche Bedingungen müssen gegeben sein?
• Was ist ein zeitinvariantes System? Wie kann man Zeitinvarianz prüfen?
• Elementare Signale (sin: reelle & komplexe Darstellung & bezogene Form); Erweiterung zur Exponentialfunktion; Welche Kurve wird in der komplexen Ebene beschrieben?
• Diracstoß, Definition, Abtasteigenschaft, Ableitungen, Modellierung kurzzeitiger Spannungsstöße (siehe Rechenskriptum 1.2)
• Was versteht man unter einer Stoß- und Sprungantwort?
• Was ist ein kausales System? Kausalität speziell für LTI? Formale Bedingung? Beispiele für nicht kausale Systeme?
• Überlagerungssatz: Wozu? Welche Voraussetzungen? Wo wird es verwendet? Auf welche Art von Netzwerken ist es eingeschränkt?
• Was versteht man unter einem SISO System? Standardmodell für SISO-Systeme (yp,yh,y); Warum ist ein SISO System linear? Bedingungen für Linearität?
• Was versteht man unter Zufallssignalen? Wie kann man sie darstellen? Wie kann man sie charakterisieren? Was ist ein Zufallssignal? Verteilungsfunktion, Verteilungsdichtefunktion; Wo kommen Wahrscheinlichkeiten ins Spiel? Zeitkontinuität, Scharmittelwert, Varianz; Wann nennt man ein Signal stationär? Warum muss irgendein Signalwert muss auftreten?
• Was ist ein Signal? (Abbildungsvorschrift, Wertebereich, Definitionsbereich, determiniert, kontinuierlich, diskret)
• Kausalität: Herleitung über die Faltung, Aussage mathematisch formulieren; nichtkausale Systeme (DSP, idealer Tiefpass), anhand eines Tiefpasses herleiten(Fourierrücktransformation)
• BIBO-Stabilität (hinreichende, und notwendige Bedingung)

Skriptum S.32-33

BIBO: Bounded Input - Bounded Output, Bei einem BIBO-stabiles System führt jedes beschränkte Eingangssignal zu einem beschränktem Ausgangssignal.

Hinreichende Bedingung: Das Eingangssignal muss stabil sein, d.h. $|u(\tau )|<M_{u}<\infty ,\forall \tau$, und das Ausgangssignal muss beschränkt sein, d.h. $|y(\tau )|<M_{y}<\infty ,\forall \tau$.

Notwendige Bedingung: Die Stoßantwort muss absolut integrierbar sein, d.h. $\int _{-\infty }^{\infty }|g(\tau )|d\tau <M_{g}<\infty$

Kapitel 2

• Welche Klassen von Systemen wird mit der Systemdifferentialgleichung in Standardform beschreiben? Wie muss man sie modifizieren, dass auch andere Systeme beschrieben werden können? Wie würden sie mit Totzeiten aussehen? Wie zeitinvariant, nichtlinear?
  • Differentialgleichung für nichtlineare Systeme? Bei welchen Systemen lineare gewöhnliche Differentialgleichung?
  • Welche Systeme werden erfasst und welche nicht? Wie kann man diese dann beschreiben?
  • System DG 1. Ordnung (+Beispiele)
• Wie lautet die Systemdifferentialgleichung in der Standardform?

Skriptum S.35

Lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten: $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y^{(1)}+a_{0}y=b_{m}u^{(m)}+\cdots +b_{0}u$

• Was ist die Anfangsbedingung? Wie gibt man bei einer Black Box die Anfangsbedingungen vor?

Skriptum S.47

Die Anfangsbedingung ist der Systemzustand zum Anfangszeitpunkt $\tau _{0}$. Man findet die Anfangsbedingung auch in den n Werten $y(\tau _{0}^{+}),y'(\tau _{0}^{+}),y''(\tau _{0}^{+}),...,y^{(n-1)}(\tau _{0}^{+})$. Wenn eine Unstetigkeit am Anfangszeitpunkt auftritt, findet man die Anfangsbedingungen nach der Unstetigkeit.

• Wie findet man für die Systemdifferentialgleichung (in der Standardform) die vollständige Lösung?

Skriptum S.47

$y(\tau )=y_{h}(\tau )+y_{p}(\tau )=\sum _{i=1}^{n}c_{i}e^{p_{i}\tau }+y_{p}(\tau )$

• Was stellt die homogene Lösung physikalisch dar? Wenn die homogene Lösung 0 warum ist die Gesamtlösung auch 0? Wenn bei Anpassung an Anfangsbedingung C=0 wird, warum wird das System dann trotzdem nicht stabil?

Skriptum S.40 und et-forum

Unabhängig vom Eingangssignal, beschreibt die homogene Lösung die Eigendynamik des Systems. Da die partikuläre Lösung von der homogenen Lösung abhängt, führt die homogene Lösung $y_{h}=0$ zur Gesamtlösung $y=0$. Die Koeffizienten (freie Konstanten) $c_{1},c_{2},...,c_{n}$ haben keinen Einfluss auf die Position der Pole, deswegen kann ein Pol in der rechten Halbebene zu einem instabilen System führen.

• Sprungunstetigkeiten (Distributionstheoreme)

Skriptum S.52

An der Position $\tau _{0}$ tritt eine Sprungunstetigkeit auf, d.h. $[\![x]\!]=x(\tau _{0}^{+})-x(\tau _{0}^{-})=\lim _{\eta \rightarrow 0}[x(\tau _{0}+\eta )-x(\tau _{0}-\eta )],\eta >0$. Falls x stetig differenzierbar ist, dann lässt sich die Ableitung von x als $x'=\{x'\}+[\![x]\!]\varepsilon '$ anschreiben, wobei $\varepsilon '$ die Ableitung des Heavyside-Sprungs $\varepsilon (\tau -\tau _{0})$ ist. Allgemein für höhere Ableitungen gilt $x^{(n)}=\{x^{(n)}\}+[\![x]\!]\varepsilon ^{(n)}+[\![x^{(1)}]\!]\varepsilon ^{(n-1)}+...+[\![x^{(n-1)}]\!]\varepsilon ^{(1)}$.

• Sprungantworten von Systemen 1. Ordnung ohne bzw. mit Nullstelle Aufzeichnen
• Sprungantworten bei stabilen, grenzstabilen und instabilen Systemen mit und ohne Nullstellen; einfache und mehrfache Pole;
• Gibt es LTI-Systeme, die keine rationale Übertragungsfunktion besitzen (Totzeit)? Erklären warum die Rücktransformation schwierig ist?
• System mit einem Pol und einer Nullstelle
  • Zeichnen Sie die Sprungantwort in Abhängigkeit der Pollage
  • Wie sieht die Sprungantwort aus, wenn sich der Pol im Ursprung befindet?
  • Wie können Pole auftreten? Reell oder in konjugiert komplexen Paaren?

Kapitel 3

• Man erkläre das Faltungsintegral! Wie ist ein Ausgangssignal mit dem Eingangssignal verknüpft? Für welche Systeme wird das angewandt?

Skriptum S.27-28

Faltungsintegral: $y(\tau )=y_{0E}(\tau )+y_{0Z}(\tau )=\int _{-\infty }^{0-}g(\tau -\tau ')u(\tau ')d\tau '+\int _{0-}^{\infty }g(\tau -\tau ')u(\tau ')d\tau '=\int _{-\infty }^{\infty }g(\tau -\tau ')u(\tau ')d\tau '$

Beim Faltungsintegral wird ein Signal x mit einem anderem Signal y verknüpft, bei dem das Produkt zwischen dem ersten Signal und dem gespiegeltem und zeitverschobenem Signal gebildet wird (siehe Integral oben). Das Faltungsintegral wird für LTI-Systeme benutzt, da man das Eingangssignal mit der Stoßantwort des Systems verknüpft und so das Ausgangssignal erhält.

• Definition der Fouriertransformation in originalen und bezogenen Variablen

Skriptum S.66-69

mit bezogenen Variablen: $X(j\nu )={\mathcal {F}}[x(\tau )]=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )e^{-j\nu \tau }d\tau$ und $x(\tau )={\mathcal {F}}^{-1}[X(j\nu )]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(j\nu )e^{j\nu \tau }d\nu$

mit nicht-bezogenen Variablen: $U(j\omega )={\mathcal {F}}[u(t)]=\int _{-\infty }^{\infty }u(t)e^{-j\omega t}dt$ und $u(t)={\mathcal {F}}^{-1}[U(j\omega )]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }U(j\omega )e^{j\omega t}d\omega$

Umwandlung: Für die Bezugsgrößen gilt $x(\tau )=u(\tau T_{B})/U_{B}$, $\tau =t/T_{B}$ und $\nu =\omega /\omega _{B}=\omega T_{B}$.
$x(\tau )=u(\tau T_{B})/U_{B},u(t)=U_{B}x(t/T_{B})$
$X(j\nu )=U(j\nu /T_{B})/(U_{B}T_{B}),U(j\omega )=U_{B}T_{B}X(jT_{B}\omega )$

• Faltung im Zeitbereich – Faltung im Frequenzbereich
• Was versteht man unter dem Faltungsprodukt zweier Signale? Wie wirkt sich das im Frequenzbereich aus? Fouriertransformation? Eigenschaften? Warum ist die Faltung so wichtig?
• Man erkläre die Faltungsdarstellung - Für welche Signale angewandt?
• Faltungsalgebra : Warum kommutativ? Einselement; Division bei Faltung möglich?
• Zeitverschiebung herleiten

Skriptum S.74

${\mathcal {F}}[x(\tau -\tau _{0})]=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau -\tau _{0})e^{-j\nu \tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )e^{-j\nu (\tau +\tau _{0})}d\tau =e^{-j\nu \tau _{0}}{\mathcal {F}}[x(\tau )]$

Hinweis: Beim Schritt vom ersten Integral zum zweiten Integral wird eine Variablensubstitution ($\tau -\tau _{0}=\tau$) durchgeführt.

• Erklären Sie das Gibbs'sche- Phänomen
• Erklären Sie den Begriff der Korrelation – Kreuz/ Autokorrelation
• Symmetrieeigenschaften von reellen Signalen
  • Herleitung aus der Definition reeller Signale
  • Zeigen Sie, warum der Realteil eine gerade Funktion und der Imaginärteil eine ungerade Funktion ist.
  • Auswirkungen dieser Erkenntnis: Es ist somit nicht nötig den Anteil bei negativen Frequenzen zu berechnen

Kapitel 4

• Was stellt ein Bodediagramm dar? Wie geht man vor, wenn man ein Bodediagramm von einer rationalen Funktion zeichnen will?

Skriptum S.93-99

Ein Bodediagramm stellt den Betrag und die Phase einer Übertragungsfunktion in Abhängigkeit von der Frequenz dar. Dabei wird die Frequenz logarithmisch eingetragen. Der Betrag wird ebenfalls logarithmisch eingetragen und hat dabei die Einheit Dezibel (dB), die Phase hingegen wird linear eingetragen.

Beim händischen Erstellen eines Bodediagramms wird die Übertragungsfunktion logarithmiert. Dabei werden aus Produkten Summen und aus Divisionen Subtraktionen. Für die einzelnen Termen kann man die Asymptoten für Betrag und Phase ins Diagramm eintragen. Die einzelnen Asymptoten addieren sich hier.

• Warum führen mehrere Pole auf der imaginären Achse zur Instabilität? Wie wirken sich Pole und Nullstellen auf die Stabilität aus?
• Wann spricht man von einem System mit direktem Durchgriff?
• Was ist ein Totzeitsystem? Beschreibung und Probleme; Bodediagramm mit Totzeiten?
• Was versteht man unter Dezibel (dB)? Betragsfrequenzgang als Bode Diagramm; was ist Nepa? Erläutern Sie den Vorgang für die Konstruktion rationaler Übertragungsfunktionen.
• Weißes Rauschen: Wie ist es definiert? Was kann man damit machen?

Kapitel 5

• Was ist eine Fourier-Reihe? Nennen Sie einige Grundbegriffe. Verwendungszweck? Welche Signale lassen sich entwickeln? Welche Klassen beschreiben sie? Unterschied: Periodendauer und Fundamentalperiode?
• Fourier-Reihen: Analyse- und Synthesegleichungen in originaler und bezogener Form; Welche Signale kann man darstellen? $2\pi$-periodische Form; Spektrum eines reellwertigen Signals;
• Schreiben Sie ein $2\pi$-periodisches Signal, welches eine Fourier Reihe darstellt auf; Ist die Zeitableitung wieder periodisch? Wie sehen die Koeffizienten aus? Fourierreihe der Eingangsgröße?
• Zeigen sie dass bei Fourierreihen für gerade/ungerade Signale $c_{k}=c_{-k}$ bzw. $c_{k}=-c_{-k}$ gilt (in die formeln für ck einsetzen und eine davon ewig umformen)
• Periodische Signale und Kenngrößen
• Periodisches Signal: Wie sieht dessen Spektrum aus?
• Synthese- und Analysegleichung...
• Fourierkoeffizienten reeller Signale herleiten (inklusive Umwandlung in Cosinusform); Zeitdifferentiation und -integration bei Fouriertransformation

Kapitel 6

• Was versteht man unter einer Mischgröße? Mischspannung- und Mischstrom? Welche Kenngrößen hat man? Charakterisierung? Schwingungsgehalt? Was ist der Maximalwert einer Mischgröße? Scheitelwelligkeit?

Skriptum S.122-123

Mischgröße: Eine Mischgröße ist eine zeitlich periodisch verlaufende Größe u, wo der Durchschnittswert $U_{0}$ nicht verschwindet. Wenn es sich bei der Größe um eine Spannung handelt, nennt man sie Mischspannung und wenn es sich um einen Strom handelt, nennt man sie Mischstrom.

Kenngrößen: Größtwert bzw. betraglicher Maximalwert ${\hat {u}}=|u|_{max}$, Gleichanteil bzw. Durschnittswert $U_{0}$, Wechselanteil $u_{\sim }=u-U_{0}$, Effektivwert der Mischgröße $U$, des Wechselanteils $U_{\sim }$, der Grundschwingung $|U_{1}|$ und der Oberschwingungen $|U_{2}|,|U_{3}|,...$, Schwingungsgehalt ${\frac {U_{\sim }}{U}}$, effektive Welligkeit ${\frac {U_{\sim }}{|U_{0}|}}$ und Scheitelwert ${\frac {{\hat {u}}_{\sim }}{|U_{0}|}}$

$U={\sqrt {{\frac {1}{T_{1}}}\int _{0}^{T_{1}}u^{2}dt}}={\sqrt {U_{0}^{2}+|U_{1}|^{2}+|U_{2}|^{2}+...}}$
$U_{\sim }={\sqrt {|U_{1}|^{2}+|U_{2}|^{2}+...}}={\sqrt {U^{2}-U_{0}^{2}}}$

• Was ist ein Gleichanteil bzw. eine Grundschwingung?

Skriptum S.122-123'

Der Gleichanteil ist der Durschnittswert und die Grundschwingung ist die Schwingung des Wechselanteils in der Grundfrequenz.

• Was ist eine Wechselgröße? Charakterisierung(Effektivwert, Scheitelgröße – Wie berechnen?), weitere Kenngrößen

Skriptum S.123-124

Wechselgröße: Eine Wechselgröße ist eine zeitlich periodisch verlaufende Größe u, wo der Durchschnittswert $U_{0}$ verschwindet. Wenn es sich bei der Größe um eine Spannung handelt, nennt man sie Wechselspannung und wenn es sich um einen Strom handelt, nennt man sie Wechselstrom.

Kenngrößen: Der betragliche Maximalwert bzw. Scheitelwert ${\hat {u}}=|u|_{max}$, Effektivwert $U$, Scheitelfaktor ${\frac {\hat {u}}{U}}$, Grundschwingungsgehalt $g_{u}$ und Oberschwingungsgehalt bzw. Klirrfaktor $k_{u}$.

$g_{u}={\frac {|U_{1}|}{U}}$
$k_{u}={\sqrt {1-g_{u}^{2}}}$

• Wie können in speicherfreien, nichtlinearen System Oberschwingungen entstehen?
• Erklären Sie die Begriffe Scheitelwert / Grundschwingungsgehalt / Oberschwingungsgehalt (Klirrfaktor).
• Erläutern Sie die Begriffe Blindleistung / Wirkleistung.
• Was bedeutet: Energiebegrenzt / Leistungsbegrenzt? Wann? Gibt es leistungsbegrenzte aber nicht energiebegrenzte Signale? Warum die Bezeichnung Signalenergie?

Kapitel 7

• Laplace Transformation: Allgemein, Definition und Eigenschaften? Welche Klassen beschreibt man? Vor- und Nachteile gegenüber der Fourier- Transformation? Wieso verwendet man „0-“ als untere Integrationsgrenze? Warum sind Sprungsstetigkeiten wichtig? Wie können Signale aussehen, die nicht Laplace-Transformierbar sind?
• Laplace-Rücktransformation; Methoden, Eigenschaften, wie wirkt sich die Rücktransformation auf die Zeitverschiebung aus? Vorgehensweise bei Partialbruchzerlegung kurz erklären
• Zeitintegration und Zeitdifferentiation herleiten
• Laplace-Ableitung herleiten => s^nY(s)-s^(n-1)y(0-)-...
• Linearität und Zeitdehnung von Laplacetransformation herleiten
• Erläutern Sie den Endwert- und Anfangswertsatz der Laplacetransformation. Wichtig: Wie geht man mit dem s-> unendlich?
• Anfangs und Endwertsatz der Laplacetransformation
• Unterschied zwischen Laplace- und Fouriertransformation; Anwendung, Eigenschaften, ...

Kapitel 8

• Ist da Lösen von DGL mit Anfangsbedingungen im Laplace-Bereich möglich? (Anwendung) Rücktransformation von Polynomen mit vorher abgeleiteter DGL
• System mit negativer Rückführung -> Grenzstabilität? Für welche Werte der bezogenen Verstärkung liegen die Pole auf der imaginären Achse?
• Wurzelstruktur eines LTI-Systems ohne Totzeiten und seine Stabilität?
• Kombination von Teilsystemen: Voraussetzung, Zusammenschaltungen (Durchführung)
• Kombination von Teilsystemen
  • Verschiedene Arten
  • Wann darf kombiniert werden? Wenn Rückwirkungsfrei
  • Kennen Sie ein nicht-rückwirkungsfreies System? RC-Tiefpass unter Belastung
• Aufzeichnen der Wurzelortskurve (z.B. Bsp im Skriptum)

Kapitel 9

• Zustandsmodell, Zustandsgleichungen
• Caley Hamilton Theorem, was besagt es?, det(E*lambda-A)=..., charakteristische Gleichung, Wofür ist es gut? (unendliche Polynomreihen aufzulösen, musste aber nicht erklärt werden wie)
• Strukturdiagramm von MIMO-Systemen; Wie beschreibt man Sie? ... (ersten Seiten in Kap9)