TU Wien:Signalprozessoren VO (Grünbacher)/Stoffzusammenfassung

DFT

Spektraldarstellung

Fourierreihe

Zerlegung von periodischen, kontinuierlichen Signalen.

Synthese: $x(t)=\sum _{-\infty }^{\infty }X_{K}e^{jkw_{0}t}$

Analyse: $X_{K}={\frac {1}{T}}\int _{T_{0}}x(t)e^{-jkw_{0}t}$

Fouriertransformation

Zerlegung von zeitbegrenzten, kontinuierlichen Signalen.

Synthese: $x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(w)e^{jwt}$

Analyse: $X(w)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-jwt}$

DFT

Zerlegung von periodischen, diskreten Signalen.

Synthese: $x[n]={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]e^{jkw1_{0}t}$

Analyse: $X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-jkw_{0}n}$

Zeitdiskrete sinusoidale Signale

$x[n]=A\cos {w_{0}n+\phi }$ oder $x[n]=Xe^{jw_{0}n}$

Periodizität

$x[n+N]=x[n]$ für alle n

kleinster Wert N für die Bedingung ist Grundperiodendauer.

Eigenschaften

Amplituden

Enthält ein reellwertiges Signal eine sinusoidale Komponente mit der Amplitude A, wird die zugehörige Spektralkomponente $X_{A}^{r}=A{\frac {N}{2}}$.

Normalerweise ist man an den relativen und nicht absoluten Amplituden interessiert, daher ist der Skalierungsfakter unwichtig.

Symmetrieeigenschaften der DFT

$X[k]=X^{*}[N-k]$

Daher nur ${\frac {N}{2}}+1$ Komponenten berechnen, der Rest ergibt sich aus Symmetrie.

Linearität der DFT

Überlagerungssatz kann angewandt werden: $x_{1}[n]+x_{2}[n]=X_{1}[k]+X_{2}[k]$ oder $X_{1+2}[k]=\sum _{n=0}^{N-1}(x_{1}[n]+x_{2}[n])e^{-j{\frac {2\pi n}{N}}k}$

Frequenzachse

Durch die Abtastung geht Frequenzachse verloren.

Zirkuläre Verschiebung

Phasenverschiebung

Anwendung DFT

Spektralkomponenten können nur im Abstand von ${\frac {f_{s}}{N}}$ liegen. Liegt eine Frequenzkomponente nicht auf den Spektrallinien, dann nähert die DFT diese Frequenz durch benachbarte Frequenzen an.

Leck-Effekt

Die spektrale Zusammensetzung eines praktischen Signals ist in der Regel nicht bekannt, daher ist das ermittelte Spektrum in der Regel nur eine Annäherung.

Spektrum nicht periodischer Signale

DFT beruht auf periodischen Signalen. Daher Nullen anhängen (zero-padding) um Nichtperiodizität anzunähern. Je mehr Nullen, desto mehr Rechenaufwand, daher eingefügte Nullen gering halten.
Durch Erhöhen von N wird die Darstellung zwar feiner, am prinzipielle Verlauf ändert sich aber nichts.
Läuft N gegen unendlich wird aus der DFT die DTFT: $X(w)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-jwn}$ Die DTFT hat ein aperiodisches und diskrete Zeitfunktion und ein periodisches, kontinuierliches Spektrum.
Zero-Padding verbessert nicht das Signal, sondern lediglich die Darstellung.

Fenstertechnik

Amplitudengang bei Filtern: $X[k]={\frac {\sin {{\frac {N}{2}}({\frac {2\pi k}{N}}-w_{0})}}{\sin {{\frac {1}{2}}({\frac {2\pi k}{N}}-w_{0})}}}$

Periodische Faltung

Faltung ist eine Operation im Zeitbereich. Es ist auch möglich, die Faltung im Frequenzvereich zu berechnen.

• Die zu faltenden Folgen mit der DFT in den Frequenzbereich transformieren. (DFT)
• Frequenzen multiplizieren. (Faltung im Zeitbereich ist Multiplikation im Frequenzbereich)
• zurück in den Zeitbereich transformieren (iDFT)

Die Operation ist die zyklische (periodische) Faltung. Um gleiches Ergebnis wie bei der aperiodischen Faltung zu erreichen, müssen $N_{g}-1$ Nullen an f und $N_{f}-1$ Nullen an g angehängt werden.

Lange Signale - Schnelle Faltung (FFT)

Lange Signale (z.B. Audio-Signale) werden in kurze Zeitabschnitte zerlegt. Berechnung mit der schnellen Faltung.

• Signal in Blöcke gleicher Länge aufteilen.
• wegen aperiodischer Faltung an s[n] h[n]-1 Nullen und an h[n] s[n]-1 Nullen anhängen.

FFT

Grundprinzip: Aufteilung in 2-Punkt Folgen und die Ausnützung der Symmetrie Eigenschaften und der Periodizität.

FIR

Einleitung

Darstellung im Zeitbereich

$y[n]=\sum _{k=0}^{L-1}b_{k}x[n-k]=\sum _{k=0}^{L-1}h[k]x[n-k]$

L ist Filterlänge
N = (L-1) ist die Ordnung des Filters
h[n] ist die Impulsantwort

Darstellung im z-Bereich

$Y(z)=X(z)\sum _{k=0}^{L-1}b_{k}z^{-k}$

$H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}=\sum _{k=0}^{L-1}b_{k}z^{-k}$

H(z) ist die Systemfunktion
Sie hat L-1 oder N Nullstellen, die Polstellen liegen im Punkt z=0

Frequenzgang

$H(w)=H(z)\left|_{z=jw}\right.=\sum _{k=0}^{L-1}b_{k}e^{-jwk}$

H(w) ist der Frequenzgang

Stabilität

Die Impulsantwort ist absolut summierbar und in der z-Ebene liegen die Polstellen innerhalb des Einheitskreises, daher sind FIR Filter BIBO stabil.

Filterstrukturen

Vor- und Nachteile

• können exakt lineare Phase haben
• sind garantiert stabil
• einfach zu implementieren
• bei gleicher Selektivität als IIR brauchen FIR Filter mehr Koeffizienten, daher höherer Implementierungsaufwand
• FIR Filter haben kein analoges Gegenstück

Lineare Phase

lineare Phase erkennt man an der symmetrischen oder antisymmetrischen Impulsantwort. $h[n]=h[N-n]$ $h[n]=-h[N-n]$

Die Systemfunktion H(z) hat eine lineare Phase wenn gilt: $H(e^{jw})=e^{j(\alpha w+\beta )}H_{r}(w)$

$H_{r}$ ist eine reelle Funktion, wird Amplitudengang oder Null-Phasen-Antwort genannt. Ist entweder gerade oder ungerade.

Typen von FIR-Filtern

Filterlänge kann gerade oder ungerade sein und die Impulsantwort symmetrisch oder antisymmetrisch sein. Daher gibt es 4 Typen:

• Typ 1: Symmetrisch, L gerade. Alle Filtertypen können realisiert werden (HP, TP, BP, BsP).
• Typ 2:

Entwurfskriterien

FIR-Filter können nicht aus analogen Filtern abgeleitet werden.

Fenstermethode

Die Impulsantwort eines idealen Tiefpassfilters ist nicht kausal

Entwurf von IIR Filtern

Darstellung im Zeitbereich

$y[n]=\sum _{k=0}^{M}b_{k}x[n-k]-\sum _{m=1}^{N}a_{m}y[n-m]$

Darstellung im z-Bereich

$H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{k=0}^{M}b_{k}z^{-k}}{1+\sum _{m=1}^{N}a_{m}z^{-m}}}={\frac {B(z)}{A(z)}}$ A(z) ist das Nennerpolynom
B(z) ist das Zählerpolynom

dient zur Untersuchung der Pol- und Nullstellen.

Stabilität

nicht garantiert stabil, sondern nur wenn:

• Impulsantwort absolut summierbar ist.
• Die Pole in der z-Ebene innerhalb des Einheiskreises liegen.

Zahlenformate

negative Zahlen

• Sign Magnitude
• Two's Compliment
• Offset Binary
• One's Compliment

Multiraten DSP

Um Abtastrate zu verändern, kann das digitale Signal in ein analoges Signal umgewandelt werden und dann mit einer anderen Abtastfrequenz abgetastet und umgewandelt werden. Dabei kommt es zu Signalverzerrungen. Daher Umwandlung im digitalen Bereich.

Sampling Rate Conversion

Umwandlung über die Rekonstruktion.

• x(t) - kontinuierliches Signal
• $F_{s}={\frac {1}{T_{x}}}$ Abtastfrequenz
• $x(nT_{x})$ - Abtastwerte

Rekonstruktion durch Interpolation $y(t)=\sum _{-\infty }^{\infty }x(nT_{x})g(t-nT_{x})$ Abtasttheorem muss eingehalten werden (Bandbreite von x(t) kleiner als Fs/2) $g(t)={\frac {sin(\pi t/T_{x})}{\pi t/T_{x}}}$ - Interpolationsfunktion

Das wiederhergestellte Signal mit neuer Abtastrate t=mTy abtasten.

$y(mT_{y})=\sum _{-\infty }^{\infty }x(nT_{x})g(mT_{y}-nT_{x})$ Fy > Fx
Wenn Fy < Fx müssen Frequenzkomponenten über Fy/2 weggefiltert werden, um Abtasttheorem einzuhalten.