TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Levajkovic)/Übungen 2022W/HW02.5

Continuous random variable

Let $X$ be a random variable whose cumulative distribution function (cdf) is of the form

$F(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}},\quad x\in \mathbb {R}$

(a) Determine the associated probability density function (pdf) $f(x)$.

(b) Use R function plot() to sketch the cdf $F$ and pdf $f$.

(c) Find an expression for the $p$-quantile $x_{p}$ and then determine the three quartiles (25%, 50% and 75% quantiles) of the distribution.

Hint: Recall, $x_{p}$ is the p-quantile if it holds $F(x_{p})=p$.

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Lösungsvorschlag von Gittenburg

--Gittenburg 10:10, 22. Okt. 2019 (CEST)

(a) $f(x)={\frac {e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}$

(b)

cdf = function(x){exp(x)/(1 + exp(x))}
pdf = function(x){exp(x)/(1 + exp(x)^2)}
plot(cdf(seq(1,10,0.1)), type='l')
plot(pdf(seq(1,10,0.1)), type='l')

(c) $p={\frac {e^{x}}{(1+e^{x})}}$ $x=ln{\frac {p}{(1-p)}}$

Note: Bei mir kommt $y=ln-{\frac {x}{(1-x)}}$

Es ist zwar $y=ln(-{\frac {x}{(1-x)}})$