TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Levajkovic)/Übungen 2022W/HW05.4

Sum and average

Let X be a random variable with ${\mathcal {N}}(5,2^{2})$. Let $X_{1},X_{2},\dots ,X_{50}$ be independent identically distributed copies of $X$. Let $S$ be their sum and ${\bar {X}}$ their average, i.e.

$S=X_{1}+\cdots +X_{50}$ and ${\bar {X}}={\frac {1}{50}}(X_{1}+\cdots +X_{50})$.

(a) Plot the density and the cumulative distribution function for $X$.

(b) What are the expectation and the standard deviation of $S$ and of ${\bar {X}}$?

(c) Use R to generate a sample of 50 numbers from ${\mathcal {N}}(5,2^{2})$. Plot the histogram for this sample. Do the same for a sample of 500 numbers from ${\mathcal {N}}(5,2^{2})$.

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{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Amazingschnitzel

--Amazingschnitzel 15:10, 4. Nov. 2019 (CET)

(a)

x = seq(-10, 20, 0.1)
plot(x, dnorm(x, 5, 2), "l", col="blue")
plot(x, pnorm(x, 5, 2), "l", col="red")

(b)

$S_{n}\approx {\mathcal {N}}(n\mu ,n\sigma ^{2})$
$S_{50}\approx {\mathcal {N}}(50*5,50*2^{2})$

Daraus können wir den Erwartungswert ($\mu _{S}$) sowie die Standardabweichung $\sigma _{S}$) herauslesen.

$\mu _{S}=250$
$\sigma _{S}={\sqrt {50*2^{2}}}=2{\sqrt {50}}$

Dasselbe können wir für $X_{n}$ machen.

$X_{n}\approx {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}/n)$
$X_{50}\approx {\mathcal {N}}(5,2^{2}/50)$

Daraus folgt einfach abgelesen:

$\mu _{X}=5$
$\sigma _{X}={\sqrt {2^{2}/50}}=2/{\sqrt {50}}$

(c)

hist(rnorm(50, 5, 2))
hist(rnorm(500, 5, 2))

Lösungsvorschlag von Simplex

# a)
x <- seq(-1, 11, 0.01)
y <- dnorm(x, 5, 2)
plot(x,y, type='l')
# b)
x_mean <- 5
x_sd <- 2
s_mean <- 50 * x_mean
s_sd <- sqrt(50 * (x_sd ^ 2))
x_avg_mean <- x_mean
x_avg_sd <- x_sd / sqrt(50)
# c)
x50 <- rnorm(50, 5, 2)
hist(x50)
x500 <- rnorm(500, 5, 2)
hist(x500)

--Simplex 14:28, 3. Feb. 2023 (CET)