TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS11/Beispiel 1.25

[Geometrische Wahrscheinlichkeit] Ein dünner Stab der Länge L = 200 mm wird zunächst an zwei willkürlich gewählten Stellen x und y (0 < x, y < L) markiert und dann an diesen Stellen durchgesägt, wodurch drei Stücke entstehen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist zumindest eines dieser Stücke nicht länger als 10 mm ?

Hilfreiches

Klassische Wahrscheinlichkeit

Klassische Wahrscheinlichkeit

Kl. Wahrscheinlichkeit/Kombinatorik

$p={\frac {\text{günstige}}{\text{mögliche}}}$

Lösungsvorschlag

von --Raven24 (Diskussion) 16:12, 26. Jan. 2014 (CET)

Es wird zwischen den folgenden Fällen unterschieden

${\begin{array}{c|c}1&2\\\hline x>y&y>x\\x<10&y<10\\y-x<10&x-y<10\\200-y<10&200-x<10\\y=x+10&x=y+10\end{array}}$

Das lässt sich grafisch so darstellen

Auf der Skizze erkennt man das "große" Rechteck (200x200) und zwei rechtwinklige Dreiecke, jeweils um 10 kleiner an jeder Seite, getrennt durch die Diagonale $x=y$. Interessant ist hier der grün schraffierte Bereich, wo zumindest eines der Schnittstücke kleiner als 10mm ist. Demnach lässt sich die Wahrscheinlichkeit wie folgt berechnen

$p=1-{\frac {170^{2}}{200^{2}}}\simeq 0.2775$

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