TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS11/Beispiel 3.11

[Binomialverteilung] Eine Kommunikationssystem bestehe aus n Komponenten, wobei jede Komponente unabhängig mit Wahrscheinlichkeit p funktioniert. Das System funktioniert nur, wenn zumindest die Hälfte der Komponenten funktioniert. Für welche Werte von p ist ein 5–Komponentensystem einem 3–Komponentensystem vorzuziehen? (Hinweis: Die Lösung führt auf eine Gleichung 3. Grades. Falls Sie diese Gleichung nicht explizit lösen können, lösen Sie sie numerisch unter Verwendung der R–Funktion polyroot.)

Lösung

Man braucht eigentlich nur das System aus Beispiel 2.22 anwenden. TU_Wien:Statistik_und_Wahrscheinlichkeitstheorie_UE_(Gurker)/Übungen_WS11/Beispiel_2.22

Da immer mindestens die Hälfte funktionieren muss hat man ein 3-aus-5 und ein 2-aus-3 System.

Formel für 3-aus-5: $1-((1-p)^{5}+5p(1-p)^{4}+10p^{2}(1-p)^{3})$ 100% minus (W-keit das alle aufallen + W_keit das eins ausfällt + W-keit das 2 ausfallen).

Formel für 2-aus-3: $1-((1-p)^{3}+3p(1-p)^{2})$ 100% minus ( W-keit das alle ausfallen minus W-keit das eine Komponente aufällt).

Ungleichung aufstellen: $1-((1-p)^{5}+5p(1-p)^{4}+10p^{2}(1-p)^{3})>1-((1-p)^{3}+3p(1-p)^{2})$

In der Angabe steht, wenn man es nicht händisch schafft, soll man 'R' bemühen.

Ich hab aber einfach WolframAlpha damit gefüttert:

Ergibt dann eben das ein 3-aus-5 System bei einer Wahrscheinlichkeit von ${\frac {1}{2}}<p<1$ vorzuziehen ist (Bei p=1 sind beide gleich - no na ned).

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