TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS17/Beispiel 3.14

Berechnen Sie den Erwartungswert der Wartezeit bei der Fußgängerampel von Aufgabe 3.5.

Theorie

Der Erwartungswert einer gemischten Verteilung errechnet sich durch:

$\mathbb {E} (X)=\sum _{i=1}^{m}x_{i}p(x_{i})+\int _{a}^{b}xf^{*}(x)\;\mathrm {d} x$

Lösungsvorschlag

Damit man alle Komponenten beisammen hat um in die obige Formel einzusetzen, fehlt noch die Funktion ${\textstyle f^{*}(x)}$, welche die Dichtefunktion von der gemischten Verteilungsfunktion darstellt.

$f^{*}(x)={\frac {25}{90}}+{\frac {x}{90}}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{90}}I_{(0,60)}(x)$

Jetzt kann man in die Formel für den Erwartungswert einer gemischten Verteilung einsetzen:

$\mathbb {E} (X)=(0){\frac {5}{18}}+\int _{0}^{65}{\frac {x}{90}}\;\mathrm {d} x={\frac {x^{2}}{180}}{\biggr |}_{0}^{65}={\frac {65^{2}}{180}}-{\frac {0^{2}}{180}}=23.47222{\text{ s}}$