[Empirische Varianz] Zeigen Sie die folgende alternative Berechnungsmöglichkeit für die empirische Varianz
:
![{\displaystyle S_{n}^{2}={\frac {1}{n-1}}\left\lbrack \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n(x)^{2}\right\rbrack }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f7c1aaf27012405c1a3f39d05f9e8f20&mode=mathml)
(Bem: Die obige Darstellung von
heißt auch (empirischer) Verschiebungssatz.)
von --Raven24 (Diskussion) 01:51, 26. Jan. 2014 (CET)
Es soll die Gleichheit gezeigt werden, also werden die beiden Terme gleichgesetzt
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n(x)^{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fa726e052cbdf484a8567847c17913c1&mode=mathml)
Man betrachte die linke Seite:
![{\displaystyle {\begin{array}{lclcl}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}&=&\sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2}-2x_{i}{\bar {x}}+{\bar {x}}^{2})&\quad &{\text{ausquadriert}}\\&=&\sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-2{\bar {x}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}+n{\bar {x}}^{2}&&{\text{Summe aufgelöst}}\\&=&\sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-2{\bar {x}}n{\bar {x}}+n{\bar {x}}^{2}&&{\text{es gilt:}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}=n{\bar {x}}\\&=&\sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-2n{\bar {x}}^{2}+n{\bar {x}}^{2}&&{\text{zusammengefasst}}\\&=&\sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-n{\bar {x}}^{2}&&{\text{-2(...) + 1(...) = -1(...)}}\end{array}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2995016a6fb735433d885cc428685f32&mode=mathml)
fertig. ;-)
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