TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Beispiel 1.11

[Empirische Varianz] Zeigen Sie die folgende alternative Berechnungsmöglichkeit für die empirische Varianz $S_{n}^{2}$:

$S_{n}^{2}={\frac {1}{n-1}}\left\lbrack \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n(x)^{2}\right\rbrack$

(Bem: Die obige Darstellung von $S_{n}^{2}$ heißt auch (empirischer) Verschiebungssatz.)

Hilfreiches

Empirische Varianz/Stichprobenvarianz

$S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$

Lösungsvorschlag

von --Raven24 (Diskussion) 01:51, 26. Jan. 2014 (CET)

Es soll die Gleichheit gezeigt werden, also werden die beiden Terme gleichgesetzt

$\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n(x)^{2}$

Man betrachte die linke Seite:

${\begin{array}{lclcl}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}&=&\sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2}-2x_{i}{\bar {x}}+{\bar {x}}^{2})&\quad &{\text{ausquadriert}}\\&=&\sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-2{\bar {x}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}+n{\bar {x}}^{2}&&{\text{Summe aufgelöst}}\\&=&\sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-2{\bar {x}}n{\bar {x}}+n{\bar {x}}^{2}&&{\text{es gilt:}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}=n{\bar {x}}\\&=&\sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-2n{\bar {x}}^{2}+n{\bar {x}}^{2}&&{\text{zusammengefasst}}\\&=&\sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-n{\bar {x}}^{2}&&{\text{-2(...) + 1(...) = -1(...)}}\end{array}}$

fertig. ;-)

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