TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Beispiel 2.3

[Bonferroni'sche Ungleichung] $A_{1}$ , $A_{2}$ , ..., $A_{n}$ seien Ereignisse aus einem Ereignisfeld ${\mathcal {E}}$ . Zeigen Sie:

P\left(\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\right)\geq \sum _{i=1}^{n}P(A_{i})-(n-1)

(Hinweis: Führen Sie die Ungleichung auf die Bool'sche Ungleichung von Aufgabe 2.2 zurück.) Wie lautet die Ungleichung für eine unendliche Folge $A_{1}$ , $A_{2}$ , ... von Ereignissen?

Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vorlage:Bonferroni'sche Ungleichung Vorlage:Bool'sche Ungleichung

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$\begin{array}{lll} P (⋂_{i = 1}^{n} A_{i}) & = 1 - P (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}^{c}) \\ \geq 1 - \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}^{c}) & = 1 - \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}^{c}) + \overset{“0” a d d i e r e n}{\overset{⏞}{\sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) - \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i})}} \\ = 1 - (\sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}^{c}) + \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i})) + \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) \\ = 1 - \underset{= n}{\underset{⏟}{(\sum_{i = 1}^{n} (P (A_{i}^{c}) + P (A_{i})))}} + \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) \\ = 1 - n + \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) \\ \geq \sum_{i = 1}^{n} P \end{array}$

aus dem Forum übernommen --Raven24 (Diskussion) 00:24, 26. Sep. 2014 (CEST)

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