TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 119

Bei einer Landtagswahl wurden von 5000 bereits ausgezählten Stimmzettel 300 für die Besserwisser Partei (BWP) registriert. Wird diese Partei bei einem Signifikanzniveau von $\alpha =0.01$ die 5% Hürde überwinden?

Lösungsvorschlag von Thomas

Erstmal die Werte aus Angabe extrahieren

$n=5000\!\,$

$\alpha =0.01\!\,$

Der relative Anteil der Stimmen, wird als spezieller Fall des arithmetischen Mittels ${\bar {x}}$ interpretiert.

${\hat {p}}={\frac {300}{5000}}=0.06$

Unsere Hypothese definiert sich wiefolgt:

$H_{0}:p_{0}<0.05\!\,$

$H_{1}:p_{0}\geq 0.05\!\,$

Teststatistik berechnen, mit einigen neuen Regeln für die Anteilsschätzung (siehe Skriptum SS09 S.83 5.5):

• ${\bar {x}}$ wird in diesem Fall mit ${\hat {p}}$ substituiert
• $\sigma /n\!\,$ definiert sich als $\textstyle {\sqrt {p(1-p)/n}}$

$Z={\frac {{\hat {p}}-p_{0}}{\sqrt {p_{0}(1-p_{0})/n}}}={\frac {0.06-0.05}{\sqrt {0.05*(1-0.05)/5000}}}=3.24443$

Kritischer Bereich:

Weil wir die Hypothesen als einseitiger Test bzw. einseitige Alternative formuliert haben, ist der kritische Bereich folglich auch nur auf einer Seite. Wir verwenden $z_{1-\alpha }\!\,$ statt $z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\!\,$

$z_{0.99}=2.33\!\,$ (in der N(0,1)-Tabelle nachsehen, welcher $z_{\alpha }$ Wert am ehesten $0.99$ entspricht)

Der absolute Wert der Teststatistik $Z=3.24$ ist größer als $z_{\alpha }=2.33$, die Hypothese wird also verworfen. Die Partei wird mit 99%iger Wahrscheinlichkeit über der 5% Hürde liegen.

Anmerkungen

ergebnis deckt sich im wesen mit dem in der übung vorgerechneten lösungsweg. -Thomarsch 15:57, 9. Jun. 2009 (CEST)