TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 34

Ein Elektrohändler hat drei Fernsehapparate einer bestimmten Marke geliefert bekommen und überprüft deren Funktionstüchtigkeit, bevor er sie an seine Kunden weiterverkauft. Bezeichne $A_{i}$ das Ereignis, daß beim i-ten Gerät ein Defekt festgestellt wird ($i=1,2,3$). Beschreiben Sie mit Hilfe von $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$ und passender Mengenoperationen folgende Ereignisse:

a) Alle Fernsehapparate sind defekt.

b) Mindestens ein Fernsehapparat ist defekt.

c) Höchstens ein Fernsehapparat ist defekt.

d) Alle Fernsehapparate sind intakt.

e) Der erste Fernsehapparat ist defekt und von den anderen beiden Geräten hat höchstens einer einen Fehler.

f) Genau zwei Fernsehapparate sind defekt.

Lösung von ParanoidAndroid

Beispiel (a)

$A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}$

Beispiel (b)

$A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}$

Beispiel (c)

$\underbrace {\left(A_{1}^{c}\cap A_{2}^{c}\cap A_{3}^{c}\right)} _{\text{keiner defekt}}\cup \underbrace {\left(A_{1}\cap A_{2}^{c}\cap A_{3}^{c}\right)} _{A_{1}{\text{ defekt}}}\cup \underbrace {\left(A_{1}^{c}\cap A_{2}\cap A_{3}^{c}\right)} _{A_{2}{\text{ defekt}}}\cup \underbrace {\left(A_{1}^{c}\cap A_{2}^{c}\cap A_{3}\right)} _{A_{3}{\text{ defekt}}}$

Beispiel (d)

$A_{1}^{c}\cap A_{2}^{c}\cap A_{3}^{c}$

Beispiel (e)

$\underbrace {\left(A_{1}\cap A_{2}^{c}\cap A_{3}^{c}\right)} _{A_{2}+A_{3}{\text{ intakt}}}\cup \underbrace {\left(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}^{c}\right)} _{A_{2}{\text{ defekt}}}\cup \underbrace {\left(A_{1}\cap A_{2}^{c}\cap A_{3}\right)} _{A_{3}{\text{ defekt}}}=A_{1}\cap (A_{2}^{c}\cup A_{3}^{c})$

Beispiel (f)

$\underbrace {\left(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}^{c}\right)} _{A_{1}+A_{2}{\text{ defekt}}}\cup \underbrace {\left(A_{1}\cap A_{2}^{c}\cap A_{3}\right)} _{A_{1}+A_{3}{\text{ defekt}}}\cup \underbrace {\left(A_{1}^{c}\cap A_{2}\cap A_{3}\right)} _{A_{2}+A_{3}{\text{ defekt}}}$