TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 47

Angabe

Die Wahrscheinlichkeit eine Zielscheibe zu treffen, ist bei 3 Schützen ${\frac {1}{6}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}}$. Jeder schießt einmal auf die Scheibe.

• a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau einer trifft.
• b) Wie groß ist unter der Annahme, dass die Scheibe genau einmal getroffen wurde, die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Mann sie getroffen hat?

Lösungsvorschlag von Thomarsch

Ereignis, dass Schütze i Trifft: $\mathbf {\mathit {S_{i}}}$

$P(S_{1})={\frac {1}{6}},P(S_{2})={\frac {1}{4}},P(S_{3})={\frac {1}{3}}$


Ereignis, dass ein Schütze triftt, und die anderen beiden nicht $\mathbf {\mathit {A}} ,\mathbf {\mathit {B}} ,\mathbf {\mathit {C}}$

$P(A)=P(S_{1}\cap {\overline {S_{2}}}\cap {\overline {S_{3}}})={\frac {1}{6}}*{\frac {3}{4}}*{\frac {2}{3}}={\frac {6}{72}}$

$P(B)=P({\overline {S_{1}}}\cap S_{2}\cap {\overline {S_{3}}})={\frac {5}{6}}*{\frac {1}{4}}*{\frac {2}{3}}={\frac {10}{72}}$

$P(C)=P({\overline {S_{1}}}\cap {\overline {S_{2}}}\cap S3)={\frac {5}{6}}*{\frac {3}{4}}*{\frac {1}{3}}={\frac {15}{72}}$

a)

Ereignis, dass genau ein Schütze Trifft: $\mathbf {\mathit {E}}$

$P(E)=P(A\cup B\cup C)={\frac {6}{72}}+{\frac {10}{72}}+{\frac {15}{72}}={\frac {31}{72}}\approx 0.4306$

Anmerkung (Erklärung?)

Der Additionssatz ($P(E)=P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B\cap C)$) kommt hier nicht zum Einsatz da die Ereignisse disjunkt sind: $P(A\cap B\cap C)=0$

b)

Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $\mathbf {\mathit {A}}$ bedingt durch $\mathbf {\mathit {E}}$

$P(A\mid E)={\frac {P(E\cap A)}{P(E)}}={\frac {P((A\cup B\cup C)\cap A)}{P(A\cup B\cup C)}}={\frac {P(A)}{P(E)}}={\frac {\frac {6}{72}}{\frac {31}{72}}}\approx 0.1936$

Hat der Prof. in der Übung heute (21.04.09) bestätigt -- Florian