a) Für welches c{\displaystyle c} stellt f(x){\displaystyle f(x)} eine Dichtefunktion einer Zufallsvariablen dar?
f(x)={c(1−x)20<x≤10sonst{\displaystyle f(x)={\begin{cases}c(1-x)^{2}&0<x\leq 1\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}}
b) Geben Sie die Verteilungsfunktion F(x){\displaystyle F(x)} an.
c) Bestimmen Sie P(X∈[−1,1]|X≤12){\displaystyle P\left(X\in [-1,1]|X\leq {\frac {1}{2}}\right)}.
d) Sind die Ereignisse X∈[−1,1]{\displaystyle X\in [-1,1]} und X≤12{\displaystyle X\leq {\frac {1}{2}}} unabhängig?
Die Fläche unter der Dichtefunktion muss 1 sein:
∫−∞+∞f(x)=1∫01c(1−x)2=1c∫01(1−2x+x2)=1c(x−x2+x33)|01=1c(1−12+133)−c(0−02+033)=1c−c+c3=1c=3{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)&=1\\\int _{0}^{1}c(1-x)^{2}&=1\\c\int _{0}^{1}(1-2x+x^{2})&=1\\c\left.\left(x-x^{2}+{\frac {x^{3}}{3}}\right)\right|_{0}^{1}&=1\\c\left(1-1^{2}+{\frac {1^{3}}{3}}\right)-c\left(0-0^{2}+{\frac {0^{3}}{3}}\right)&=1\\c-c+{\frac {c}{3}}&=1\\c&=3\end{aligned}}}
F(x)=∫−∞xf(x){\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(x)}
F2(x)=∫0x3(1−x)2=3(x−x2+x33)|0x=(3x−3x2+x3)−(3⋅0−3⋅02+03)=x3−3x2+3x{\displaystyle {\begin{aligned}F_{2}(x)&=\int _{0}^{x}3(1-x)^{2}\\&=\left.3\left(x-x^{2}+{\frac {x^{3}}{3}}\right)\right|_{0}^{x}\\&=(3x-3x^{2}+x^{3})-(3\cdot 0-3\cdot 0^{2}+0^{3})\\&=x^{3}-3x^{2}+3x\end{aligned}}}
F(x)={0x≤0x3−3x2+3x0<x<11x≥1{\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&x\leq 0\\x^{3}-3x^{2}+3x&0<x<1\\1&x\geq 1\end{cases}}}
stat5.pdf
stellt 
eine Dichtefunktion einer Zufallsvariablen dar?
an.
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und 
unabhängig?
