TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS11/Beispiel 38

Eine ideale Münze werde 10 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei

• a) genau 2 mal "Wappen oben",
  
• b) genau 5 mal "Wappen oben",
  
• c) höchstens bis zu 5 mal "Wappen oben" auftritt?
  

Lösungsvorschlag

$n=10\,$

$\Omega =\{0,1\}^{n}=\{(x_{1},...,x_{n})\,|\,x_{i}\in \{0,1\}\}$

Wir könnten wie im Skriptum, Beispiel 4.12, das Ereignis $E_{i}$ = "# der guten Versuchsausgänge gleich i" für $i=0,...,n$, mit

$P(E_{i})={\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{(n-i)}$

berechnen

Da wir aber eine diskrete Gleichverteilung haben (Siehe Skriptum 4.2), können wir einfach mit günstige / mögliche Versuchsausgänge rechnen.

Es lässt sich auch sehen, dass die binomialverteilung bei

$p={\frac {1}{2}}$

zu

${\binom {n}{i}}2^{-n}={\frac {\binom {n}{i}}{2^{n}}}$

wird

Wir haben also $2^{n}=1024$ mögliche Versuchsausgänge.

a

Bei $i=2$ gibt es ${\binom {10}{2}}$ günstige Versuchsausgänge, d.h.

$P(E_{2})={\frac {\binom {10}{2}}{1024}}={\frac {45}{1024}}=0.0439...$

b

$P(E_{5})={\frac {\binom {10}{5}}{1024}}={\frac {252}{1024}}=0.246...$

c

Angelehnt an Beispiel 4.19 im Skriptum:

$\sum _{i=0}^{5}{\frac {\binom {10}{i}}{1024}}={\frac {638}{1024}}=0.623...$