TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 42

Ein dreimotoriges Flugzeug stürzt ab, wenn der Hauptmotor in der Mitte oder beide Seitenmotoren ausfallen. Ein viermotoriges Flugzeug stürzt ab, wenn auf einer Seite beide Motoren ausfallen. Es wird angenommen, daß jeder der Flugzeugmotoren mit der Wahrscheinlichkeit $p$ auf einem bestimmten Flug ausfällt. Unter der Annahme der Unabhängigkeit für das Eintreten der Defekte an den einzelnen Fluzeugmotoren berechne man die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein drei- bzw. viermotoriges Flugzeug durch Motorversagen abstürzt (zuerst allgemein und dann setze man für $p=0.05$).

Lösungsvorschlag

dreimotoriges Flugzeug

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Hauptmotor ausfällt ist $p$, für beide Seitenmotoren ist die Wahrscheinlichkeit $p^{2}$ und für alle drei$p^{3}$.

$P(Absturz)=1\cdot p\cdot 1+p\cdot 1\cdot p-p\cdot p\cdot p=p+p^{2}-p^{3}$

$0.05+0.05^{2}-0.05^{3}=0.052375=5.2375\%$

viermotoriges Flugzeug

Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Seitenmotoren ausfallen ist $p^{2}$. Alle 4 Motoren fallen mit einer Wahrscheinlichkeit von $p^{4}$ aus.

$P(Absturz)=p\cdot p\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot p\cdot p-p\cdot p\cdot p\cdot p=2\cdot p^{2}-p^{4}$

$2\cdot 0.05^{2}-0.05^{4}=0.00499357=0.499375\%$

Gewünschte Lösung in Übung:

Dreimotorig: A v (B n C)

Viermotorig: (A n B) v (C n D)

Beides nach Additionssatz auflösen ergibt Ergebnisse vom erstem Lösungsvorschlag.