TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 49

Angabe

In einem Restaurant essen mittags gewöhnlich 40% der Gäste keine Vorspeise, 35% der Gäste keinen Nachtisch und 15% der Gäste weder Vorspeise noch Nachtisch. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

• a) ein Gast, der keinen Nachtisch wählt, auch keine Vorspeise nimmt
• b) ein Gast, der eine Vorspeise wählt, auch noch einen Nachtisch nimmt

Lösung von Thomarsch

Ereignis $\mathbf {\mathit {V}}$: Gast nimmt eine Vorspeise
Ereignis $\mathbf {\mathit {N}}$: Gast nimmt eine Nachspeise

$P({\overline {V}})=0.40\ \ \ P(V)=0.60$

$P({\overline {N}})=0.35\ \ \ P(N)=0.65$

$P({\overline {V}}\cap {\overline {N}})=0.15$ (Gast nimmt weder Vor-, noch Nachspeise. Angabe!)

a)

Wahrscheinlichkeit von ${\overline {V}}$ bedingt durch ${\overline {N}}$

$P({\overline {V}}\mid {\overline {N}})={\frac {P({\overline {V}}\cap {\overline {N}})}{P({\overline {N}})}}={\frac {0.15}{0.35}}\approx 0.429$

b)

Wahrscheinlichkeit von $\mathbf {\mathit {N}}$ bedingt durch $\mathbf {\mathit {V}}$

$P(N\mid V)={\frac {P(N\cap V)}{P(V)}}={\frac {P({\overline {{\overline {N}}\cup {\overline {V}}}})}{P(V)}}={\frac {1-P({\overline {N}}\cup {\overline {V}})}{P(V)}}={\frac {1-P({\overline {N}})-P({\overline {V}})+P({\overline {N}}\cap {\overline {V}})}{V}}={\frac {0.4}{0.6}}\approx 0.667$

(Anwendungen: Bayestheorem, Regel von De Morgan, allgemeiner Additionssatz.)

Hat der Prof. in der Übung heute (21.04.09) bestätigt -- Florian

Links

49.pdf - lösung von fallenguru