TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 53

Angabe

Bei einem bestimmten Prüfverfahren in der Qualitätskontrolle wird ein Ausschussteil mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.98 erkannt. Ein einwandfreies Teil wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.99 als solches eingestuft. Es liege in der Produktion ein Ausschussprozentsatz von 3% vor.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass

• a) ein zufällig ausgewähltes Produkt durch das Prüfverfahren als fehlerhaft eingestuft wird
• b) ein als Ausschuss erkanntes Teil tatsächlich Ausschuss ist

Lösungsvorschlag von Thomarsch

Ereignis $\mathbf {\mathit {F}}$: ein Teil ist Ausschuss
Ereignis $\mathbf {\mathit {A}}$: ein Teil ist Ausschuss und wird als solches erkannt
Ereignis $\mathbf {\mathit {E}}$: ein Teil ist Einwandfrei und wird als solches erkannt

$P(\mathbf {\mathit {F}} )=0.03\ \ \ \ P({\overline {F}})=0.97$
$P(\mathbf {\mathit {A}} )=0.98\ \ \ \ P({\overline {A}})=0.02$
$P(\mathbf {\mathit {E}} )=0.99\ \ \ \ P({\overline {E}})=0.01$

a)

Überlegung: ein zufällig ausgewähltes Teil kann einem von zwei Ereignissen zugeordnet werden.

• $\mathbf {\mathit {F}}$ es ist Ausschuss oder
• ${\overline {F}}$ es ist Einwandfrei.

Weiters:

• Wenn das Teil Ausschuss ist (3%), wird es mit 98%iger Wahrscheinlichkeit als solches eingestuft. $\mathbf {\mathit {A}}$ bedingt durch $\mathbf {\mathit {F}}$

$P(A)=P(A\mid F)=0.98$

• Wenn das Teil Einwandfrei ist (97%) , wird es mit 1%iger Wahrscheinlichkeit trotzdem als Ausschuss eingestuft. ${\overline {E}}$ bedingt durch ${\overline {F}}$

$P({\overline {E}})=P({\overline {E}}\mid {\overline {F}})=0.01$

Folgerung:

• Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ausschuss Teil auch als Ausschussteil eingestuft wird:

$P(F)*P(A\mid F)=P(F)P(A)=0.03*0.98=0.0294$

• Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Einwandfreies Teil trotzdem als Ausschussteil eingestuft wird:

$P({\overline {F}})*P({\overline {E}}\mid {\overline {F}})=P({\overline {F}})P({\overline {E}})=0.97*0.01=0.0097$

Mit Satz der Totalen Wahrscheinlichkeit lösen:
$P(F)P(A)+P({\overline {F}})P({\overline {E}})=0.0294+0.0097=0.0391$

b)

Hier brauchen wir:

• Als Ausschuss erkannte Teile die auch wirklich Ausschuss sind
• 'Ein als Ausschuss Erkanntes Teil' = Irgendein Zufällig gewähltes Teil, dass als Ausschuss erkannt wird (dh. es muss nicht unbedingt ein Ausschuss-Teil sein).

Beides haben wir in a) berechnet.

${\frac {P(F)P(A)}{P(F)P(A)+P({\overline {F}})P({\overline {E}})}}={\frac {0.0294}{0.0391}}=0.7519$

Anmerkung

Das Ergebnis ist richtig, bin mir allerdings nicht sicher ob die Schlussfolgerungen alle stimmen. -Thomarsch 15:38, 21. Apr. 2009 (CEST)
Das ganze lässt sich besser als Entscheidungsbaum dargestellt nachvollziehen.

Die Lösungen stimmen (hat der Prof heute (21.04.09) bestätigt), allerdings mit einem etwas anderen Lösungsweg (P(X) ist das Ergebnis von a)): $P(A|X)={\frac {P(A\cap X)}{P(X)}}={\frac {P(A)\cdot P(X|A)}{P(X)}}={\frac {0.03\cdot 0.98}{0.0391}}=0.7519=75.19\%$

-- Florian