TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 58

Zur Erkennung einer bestimmten Krankheit wird ein Test verwendet, der bei 99% aller Kranken eine Erkrankung diagnostiziert. Allerdings zeigt der Test irrtümlicherweise bei 0.1% aller Gesunden eine Erkrankung an. Dieser Test wird zur Untersuchung einer Population verwendet, in der erfahrungsgemäß 1% Kranke sind. Eine aus dieser Population zufällig ausgewählte Person unterzieht sich dem Test, und es wird eine Erkrankung angezeigt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Person wirklich krank?

Lösungsvorschlag

$P(K)=0.01$ $P(R)=0.99$ $P(F)=0.001$

$P(K)={\frac {P(K\cap R)}{P(K\cap R\cup {\overline {K}}\cap F)}}={\frac {0.01\cdot 0.99}{0.01\cdot 0.99+0.99\cdot 0.001}}=0.9090$

Lösung von ParanoidAndroid

stat4_58.pdf

Lösung 2

(P positiv, K krank)

gegeben: $P(P|K)=0.99,P(P|K^{C})=0.001,P(K)=0.01$

gesucht: $P(K|P)$

$P(K^{C})=1-P(K)=0.99$

$P(P|K)={\frac {P(P\cap K)}{P(K)}}$

$P(K\cap P)=P(K)*P(P|K)=0.01*0.99=0.0099$

https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit#Gesetz_der_totalen_Wahrscheinlichkeit

$P(P)=P(P|K)*P(K)+P(P|K^{C})*P(K^{C})=0.99*0.01+0.001*0.99=0.01089$

$P(K|P)={\frac {P(P\cap K)}{P(P)}}={\frac {0.0099}{0.01089}}=0.{\overline {90}}$