TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 59

20 % der von einer Maschine erzeugten Werkstücke sind unbrauchbar. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass von 4 zufällig ausgewählten Stücken

• a) eines
• b) mindestens eines

unbrauchbar ist (Hinweis: Binomialverteilung)

Hilfreiches

Binomialverteilung

Binomialverteilung

$P(E_{i})={n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}$

Lösungsvorschlag von Thomas

Der Hinweis hilft da gut.

• $p$ gut = $0.80$
• $1-p$ schlecht = $0.20$
• $n=4$

a)

Notwendige überlegung aus dem Skriptum:

Wir interessieren uns für das Ereignis $E_{i}=$ "# der guten Versuchsausgänge gleich $i$ für $i=0,...,n$"

1 aus 4 unbrauchbar = 3 gute
wir suchen also $E_{3}$

$P(E_{3})={4 \choose 3}*0.8^{3}*0.2^{4-3}=4*0.512*0.2=0.4096\approx 41\%$

b)

prinzipiell bedeutet "mindestens eines", dass entweder: keines gut ist, eines gut ist, zwei gut sind oder drei gut sind.

also:

$P(E_{0}\cup E_{1}\cup E_{2}\cup E_{3})=P(E_{0})+P(E_{1})+P(E_{2})+P(E_{3})-P(E_{0}\cap E_{1}\cap E_{2}\cap E_{3})$

der hintere teil ist extrem gering, kann man vernachlässigen.

$P(E_{0})={\tbinom {4}{0}}*0.8^{0}*0.2^{4}=1*1*0.0016=0.0016$
$P(E_{1})={\tbinom {4}{1}}*0.8^{1}*0.2^{3}=4*0.8*0.008=0.0256$
$P(E_{2})={\tbinom {4}{2}}*0.8^{2}*0.2^{2}=6*0.64*0.04=0.1536$
$P(E_{3})=0.4096\!\,$

$0.0016+0.0256+0.1536+0.4096=0.5904\approx 59\%$

Alternative

Wir wollen die Wahrscheinlichkeit für mindesten 1 unbrauchbares. Rechnen wir mit der Zufallsvariable X = "Anzahl der unbrauchbaren Teile" dann ist $p=0.2$ und uns interessiert $P(X\geq 1)$

${\begin{aligned}P(X\geq 1)&=1-P(X\leq 0)\\&=1-\left({\binom {4}{0}}0.2^{0}0.8^{4}\right)\\&=1-(1\cdot 1\cdot 0.8^{4})\\&=1-0.4096=0.5904\end{aligned}}$

Damit erklärt sich auch das unten Diskutierte. --Thrau (Diskussion) 18:05, 3. Okt. 2013 (CEST)

Anmerkungen

ja. glaub das stimmt so ;) --Thomarsch 23:43, 25. Apr. 2009 (CEST)

Glaube ich auch, aber b) kann man einfacher lösen indem man einfach $1-P(\{w=0\})$ ausrechnet. Aber ich glaube nicht, dass das die Gegenwahrscheinlichkeit zu a) ist, meiner Meinung nach einfach nur zufällig die gleichen Werte. --Florian 17:32, 26. Apr. 2009 (CEST)

Jetzt bin ich mir ganz sicher das bei b) nicht die Gegenwahrscheinlichkeit von a) heraus kommt, probiert mal die Variable p leicht zu verändern, dann kommt stimmen $P(\{w=1\})$ und $P(\{w=0\})$ nicht mehr überein.--Florian 17:37, 26. Apr. 2009 (CEST)

ganz ist es mir eh auch nicht klar, warum das mit der gegenwahrscheinlichkeit richtig herauskommt. wenn ich's rechnen muss, dann rechne ich's so wie ichs aufgeschrieben hab. das stimmt auf jeden fall. --Thomarsch 19:16, 26. Apr. 2009 (CEST)