TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 62

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die mit einem bestimmten Serum geimpft worden ist, eine Gegenreaktion auf dieses Serum zeigt, beträgt 0.001. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass von 2000 Personen

• a) genau 3
• b) mehr als 2

eine Gegenreaktion zeigen

Theorie

Wir haben hier ein großes $n$ ($>50$) und ein kleines $p$ ($<.1$) vorliegen also verwenden wir die Vorlage:Poissonverteilung

Lösungsvorschlag von Thomas

$n=2000$
$p=0.001$
$\lambda =n*p=2$
$X=$ die Anzahl der Personen bei der eine Gegenreatkion auftritt.

a)

$p_{3}={\frac {2^{3}}{3!}}\cdot e^{-2}={\frac {8}{6}}\cdot e^{-2}\approx 0.1804$

b)

"mehr als 2" = "mindestens 3" = "nicht 1 und nicht 2"

${\begin{array}{lcl}P(X\geq 3)&=&1-P(X\leq 2)\\\\&=&1-\sum _{i=0}^{2}{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}e^{-\lambda }\\\\&=&1-{\Bigl (}1+{\frac {2}{1}}+{\frac {4}{2}}{\Bigr )}e^{-2}\\\\&=&1-5\cdot e^{-2}\\\\&\approx &0.3233\end{array}}$

Anmerkungen

bin mir ziemlich sicher, dass das so stimmt --Thomarsch 19:00, 27. Apr. 2009 (CEST)