TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS11/Beispiel 79

Sei X eine normalverteilte Zufallsgröße mit dem Mittelwert $\mu$ und der Varianz $\sigma ^{2}$. Im folgenden sollen Sie ein Reihe von Toleranzintervallen zu vorgegebener Länge bzw. zu einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit angeben.

$a)P(|X-\mu |\leq k\sigma )=?\qquad f{\ddot {u}}r\ k=1,1.5,2,2.5,3,3.5$
${\begin{aligned}b)P(|X-\mu |\leq k\sigma )=p\qquad &f{\ddot {u}}r\ p=0.90,0.95,0.99,0.999\\&k=?\end{aligned}}$

${\begin{aligned}c)P(X-\mu \leq t\sigma )=p\qquad &f{\ddot {u}}r\ p=0.90,0.95,0.99,0.995,0.999\\&t=?\end{aligned}}$

Lösung von Angela

a)

$P(x_{1}\leq X\leq x_{2})=P(|X-\mu |\leq k\sigma )=$

$P(\mu -k\sigma \leq X\leq \mu +k\sigma )=P\left({\frac {-k\sigma }{\sigma }}\leq Z\leq {\frac {k\sigma }{\sigma }}\right)=$

$\Phi \left({\frac {k\sigma }{\sigma }}\right)-\Phi \left({\frac {-k\sigma }{\sigma }}\right)$

$\Phi \left(k\right)-\Phi \left(-k\right)=$

$2\cdot \Phi \left(k\right)-1=$

k=1 bei Phi einsetzen und in der Tabelle nachschauen (http://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Standardnormalverteilung) -> 0,84134

$2\cdot \Phi \left(1\right)-1=$

$2\cdot 0.84134-1=0,68268$

das dann für die übrigen Werte auch machen

b)

$2\cdot \Phi \left(k\right)-1=p$

$\Phi \left(k\right)={\frac {p+1}{2}}$

für p=0,9

$\Phi \left(k\right)={\frac {0.9+1}{2}}=0,95$

dass ist diesmal das ergebnis von phi(k), also muss man 0,95 in der Tabelle suchen, aber bei den Ergebnissen

$\Phi \left(1,64\right)=0,95$

c)

$P\left(X-\mu \leq t\sigma \right)$

$P\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\leq t\right)$

das ist genau die Formal für phi (siehe Skriptum S. 46 unten) und man braucht nur mehr phi(t) in der tabelle suchen. Voilà ;)

Ergebnisse

findet man unter https://web.archive.org/web/*/www.informatik-forum.at/showthread.php?72835-Beispiel-79