TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 90

Die zufällige Variable X habe die Dichtefunktion

$f(x)={\begin{cases}e^{-x}&:x\geq 0\\0&:{\text{sonst}}\end{cases}}$

Bestimme für die zufällige Variable $Y={\frac {1}{1+X^{2}}}$ Verteilungs- und Dichtefunktion.

Lösung von desp

${\frac {1}{x^{2}+1}}$ ist streng monoton fallend, für $x\geq 0$, daher gilt $F_{Y}(y)=F\left(h^{-1}(y)\right)$. Die Verteilungsfunktion von $X$ lautet

$F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt\Longrightarrow \int e^{-x}\,dx=-e^{-x}\Longrightarrow F(x)=-e^{-x}-\left(-e^{0}\right)=-e^{-x}+1$

Außerdem ist $Y={\frac {1}{1+X^{2}}}\Longrightarrow X={\sqrt {{\frac {1}{Y}}-1}},0<Y\leq 1$.

Nun kann man die Verteilungsfunktion $F_{Y}$ berechnen:

$F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P\left({\frac {1}{1+X^{2}}}\leq y\right)=P\left(X\leq {\sqrt {{\frac {1}{y}}-1}}\right)=F\left({\sqrt {{\frac {1}{y}}-1}}\right)=-e^{-{\sqrt {{\frac {1}{y}}-1}}}+1$

Die Dichtefunktion $f_{Y}$ ergibt sich durch Differentiation:

$f_{Y}(y)=\left(-e^{-{\sqrt {{\frac {1}{y}}-1}}}+1\right)'=-e^{-{\sqrt {{\frac {1}{y}}-1}}}*\left(-{\sqrt {{\frac {1}{y}}-1}}\right)'=e^{-{\sqrt {{\frac {1}{y}}-1}}}*\left({\frac {1}{y}}-1\right)^{-{\frac {1}{2}}}*\left({\frac {1}{y}}-1\right)'=-{\frac {e^{-{\sqrt {{\frac {1}{y}}-1}}}}{2y^{2}*{\sqrt {{\frac {1}{y}}-1}}}}$

Tex-Test abgeschlossen :)

Anmerkung

Das Ergebnis ist falsch, die Dichtefunktion kann niemals negativ werden.

Anstatt Y nach X umformen muss folgende Ungleichung nach X aufgelöst werden: ${\frac {1}{1+X^{2}}}\leq y$, Ergebnis: $X\geq {\sqrt {{\frac {1}{y}}-1}}$

Weiters ist dann $F_{Y}(y)=P(X\geq {\sqrt {{\frac {1}{y}}-1}})=1-P(X<{\sqrt {{\frac {1}{y}}-1}})=1-F({\sqrt {{\frac {1}{y}}-1}})=...$

Ansonsten ist der Lösungsweg korrekt, das Endergebnis ist dann ${\frac {e^{-{\sqrt {{\frac {1}{y}}-1}}}}{2y^{2}*{\sqrt {{\frac {1}{y}}-1}}}}$

PDF-Lösung

Beispiel90.pdf