Die zufällige Variable X habe die Dichtefunktion
Bestimme für die zufällige Variable
Verteilungs- und Dichtefunktion.
ist streng monoton fallend, für
, daher gilt
. Die Verteilungsfunktion von
lautet
![{\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt\Longrightarrow \int e^{-x}\,dx=-e^{-x}\Longrightarrow F(x)=-e^{-x}-\left(-e^{0}\right)=-e^{-x}+1}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3cc88f4f070868eec38f27a10ea6ed73&mode=mathml)
Außerdem ist
.
Nun kann man die Verteilungsfunktion
berechnen:
![{\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P\left({\frac {1}{1+X^{2}}}\leq y\right)=P\left(X\leq {\sqrt {{\frac {1}{y}}-1}}\right)=F\left({\sqrt {{\frac {1}{y}}-1}}\right)=-e^{-{\sqrt {{\frac {1}{y}}-1}}}+1}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6231af03e7934d8c1e2f30636046e353&mode=mathml)
Die Dichtefunktion
ergibt sich durch Differentiation:
![{\displaystyle f_{Y}(y)=\left(-e^{-{\sqrt {{\frac {1}{y}}-1}}}+1\right)'=-e^{-{\sqrt {{\frac {1}{y}}-1}}}*\left(-{\sqrt {{\frac {1}{y}}-1}}\right)'=e^{-{\sqrt {{\frac {1}{y}}-1}}}*\left({\frac {1}{y}}-1\right)^{-{\frac {1}{2}}}*\left({\frac {1}{y}}-1\right)'=-{\frac {e^{-{\sqrt {{\frac {1}{y}}-1}}}}{2y^{2}*{\sqrt {{\frac {1}{y}}-1}}}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b8326314b17f755d83e37cdfc57ef511&mode=mathml)
Tex-Test abgeschlossen :)
Das Ergebnis ist falsch, die Dichtefunktion kann niemals negativ werden.
Anstatt Y nach X umformen muss folgende Ungleichung nach X aufgelöst werden:
, Ergebnis:
Weiters ist dann
Ansonsten ist der Lösungsweg korrekt, das Endergebnis ist dann
Beispiel90.pdf