TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS11/Beispiel 99
Die Zufallsgrößen X und Y nehmen die Werte 1, 2 und 3 an. Dabei seien die folgenden Wahrscheinlichkeiten bekannt:
P(X =1)=0.5 P(X =2)=0.3,
P(Y =1)=0.7 P(Y =2)=0.2,
P(X =1,Y =1)=0.35, P(X=2,Y =2)=0.06
und P(X =3,Y =1)=0.20.
a) Man stelle die Verteilungstabelle von (X, Y ) auf.
b) Man ermittle die Einzelwahrscheinlichkeiten der Zufallsgrößen
Z1 = X + 3Y und Z2 = X2 − Y
sowie EZ1, EZ2, Var(Z1) und Var(Z2).
Lösungsvorschlag von Uppsala[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
a) Tabelle erstellen (sieht genauso aus wie in Beispiel 95). Der Hinweis zum Erstellen die Zahlen aus der Angabe eintragen und dann schaut man "kreuzwortmässig" welche Zahlen noch hineinpassen. Z.B. weiß man von vornherein dass die Randverteilung nur 1 sein kann -> dadurch kann man sich z.b schon einmal den letzten Px und Py-Wert ausrechnen usw...
b) E(Z1):
E(X)= P(X=1)*1 + P(X=2)+ P(X=3)*3 = 1*0,5+2*0,3-3*0,2 = 1,7
E(Y)= analoger Rechenweg = 1*0,7+2*0,2+3*0,1 = 1,4
E(X^2) = 1^2*0.5+2^2*0.3+3^2*0.2 = 3.5
E(Z1) = EX+3EY= 1,7+3*1,4 = 5,9
E(Z2) = EX^2-EY = 2,1
EX^2 errechnet man sich durch die Formel im Skriptum auf Seite 65 (d.h. nicht einfach nur E(X)^2 nehmen.
Hinweis: Diese Lösung wurde durch die Übungsstunde bestätigt.