TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS12/Beispiel 114

Bei einer neu angeschafften Flaschenabfüllanlage wird der Brauerei eine mittlere Abfüllmenge von 0.33 l bei einer Standardabweichung von $\sigma =0.03l$ garantiert. Eine Stichprobe von $n=16$ Flaschen ergab eine durchschnittliche Biermenge pro Flasche von 0.31 l. Es soll angenommen werden, dass die Abfüllmenge normalverteilt ist.

(a) Kan man mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% davon ausgehen, dass die mittlere Abfüllmenge geringer ist als vom Hersteller angegeben?

(b) Bestimmen Sie den kritischen Bereich des oben durchgeführten Tests und veranschaulichen Sie sich das Testproblem graphisch.

(c) Bei welchem Signifikanzniveau $\alpha$ wird dir unter (a) betrachtete Hypothese noch abgelehnt?

Lösung von Nirpet01

Wir wissen von der Population: $\mu _{0}=0.33$ und $\sigma =0.03$. Von der Stichprobe kennen wir ${\bar {x}}=0.31$ und $n=16$.

(a) Es ist hier ein einseitiger Test durchzuführen. Die Hypothesen lauten:

$H_{0}:\mu =\mu _{0}$

$H_{1}:\mu <\mu _{0}$

Da die Standardabweichung $\sigma$ bekannt ist, können wir die folgende Teststatistik verwenden:

$Z={\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\sigma /{\sqrt {n}}}}=-2.6667$

Der kritische Bereich ist $Z<z_{\alpha }$ bei $\alpha =0.05$.

$z_{0.05}=-1.644854$

Die Nullhypothese wird verworfen, d.h. wir gehen davon aus, dass die mittlere Abfüllmenge tatsächlich geringer ist als vom Hersteller angegeben wurde.

(b) Die graphische Darstellung ist einfach zu zeichenen. Man nimmt die Standardnormalverteilung, zeichnet das Quantil $z_{0.05}$ ein und markiert den Bereich links davon als kritischen Bereich.

(c) Hier wird für das Ergebnis $Z=-2.6667$ aus Punkt (a) das entsprechende Quantil.

$z_{\alpha }=Z=-2.6667$

Die Gleichung formen wir um nach $\alpha$. Den Wert entnehmen wir aus einer Tabelle oder nutzen R (Befehl: pnorm(-2.666667)). Das ergibt: $\alpha =0.0038$.

Wir lehnen die unter Punkt (a) betrachtete Nullhypothese bei einem Signifikanzniveau von $\alpha =0.0038$ noch ab.

--Nirpet01 13:33, 23. Jun. 2012 (CEST)