TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS12/Beispiel 68

Betrachten Sie als Zufallexperiment das Werfen von drei Münzen. Dabei bedeute Wappen den Wert 0 und Zahl den Wert 1. Eine Zufallsvariable X sei durch die Summe der drei Werte bestimmt. Geben Sie den Wahrscheinlichkeitsraum an, bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung und Verteilungsfunktion und stellen Sie diese beiden graphisch dar.

Lösungsvorschlag

EreignisRaum: $\Omega =\lbrace (WWW),(WWZ),(WZW),(ZWW),(ZZW),(ZWZ),(WZZ),(ZZZ)\rbrace$

Zufallsvariable X  : $\mathrm {X} (\omega )=x_{1}+x_{2}+x_{3}$

Lösungsansatz

$\Omega =\{(x_{1},x_{2},x_{3})\,|\,x_{i}\in \{0,1\}\}$

$X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$

$X(\omega )=x_{1}+x_{2}+x_{3}$

Es gilt also

${\begin{aligned}P(X=0)=&{\frac {1}{8}}\\P(X=1)=&{\frac {3}{8}}\\P(X=2)=&{\frac {3}{8}}\\P(X=3)=&{\frac {1}{8}}\end{aligned}}$

Die Verteilungsfunktion bei einer diskreten Zufallsvariable ist

$F(x)=P(X<x)=\sum _{x_{i}\leq x}P(X=x_{i})$

Verteilungsfunktion F(x)

und nimmt damit folgende Werte an:

${\begin{aligned}P(X\leq 0)=&{\frac {1}{8}}\\P(X\leq 1)=&{\frac {4}{8}}\\P(X\leq 2)=&{\frac {7}{8}}\\P(X\leq 3)=&1\end{aligned}}$

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