TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS12/Beispiel 70

Gegeben sei eine Zufallsgröße X mit einer Dichte von der in der Zeichnung angegebenen Form. Bestimmen Sie:

• a) Dichte- und Verteilungsfunktion
• b) Median und 0.9-Quantil
• c) Die Wahrscheinlichkeit, dass $X\leq 2$

Lösungsvorschlag

a

Dichtefunktion: was abgebildet ist

$f(x)={\begin{cases}h(1+x)&-1\leq x\leq 0\\h&0\leq x\leq 2\\h(3-x)&2\leq x\leq 3\\0&sonst\end{cases}}$

Verteilungsfunktion

$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)dt$

siehe

Für die Dichtefunktion gilt allgemein

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)=1$

wir sehen außerdem, dass sich die Fläche des Diagrams in 6 dreiecke Teilen lässt. Wir sehen damit auf anhieb, das $\int _{0}^{1}f(x)={\frac {2}{6}}={\frac {1}{3}}$ gelten muss.

Damit lässt sich $h$ direkt berechnen.

${\frac {1}{3}}=\int _{0}^{1}f(x)=F(1)-F(0)=h$

b

Berechnung des 90%-Quantil, indem wir den Flächeninhalt der Dichtefunktion gleich 0.9 setzen. Die Berechnung des Medians kann analog gemacht, aber einfacher aus dem Diagramm abgelesen werden.

${\begin{aligned}F(x)=0.9\\\int _{-1}^{x}{f(x)}dx=0.9\\{\frac {5}{6}}+\int _{2}^{x}{f(x)dx}=0.9\\{\frac {5}{6}}+\left(-{\frac {x^{2}}{6}}+x\right){\Biggr |}_{2}^{x}=0.9\\-{\frac {x^{2}}{6}}+x-{\frac {1}{2}}=0.9\\\Longrightarrow x\approx 2.2254\\\end{aligned}}$

c

Lässt sich aus der Zeichnung von $f(x)$ eigentlich ohne Rechnen direkt ablesen.

${\begin{aligned}P(X\leq 2)&=F(2)=\int _{-1}^{2}f(x)\\&={\frac {5h}{2}}\\&=2.5h\end{aligned}}$

für $h={\frac {1}{3}}$ ist das ${\frac {5}{6}}$

Links

Beispiel: https://web.archive.org/web/*/www.informatik-forum.at/attachment.php?attachmentid=14633&d=1241374601

Materialien

Neues Material hinzufügen

S

• ss12-bsp70-dichte.png (details)