TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie VO/UE (Felsenstein)/Fragekatalog Mündlich

Zusammenfassung aller Fragen die ich in dem Materialsammlungsthread gefunden habe.
Als "Buch" wurde das Skriptum von Prof Felsensetin WS 2k5/2k6 verwendet

Diskriptive Statistik und Motivation

relative Häufigkeit (bis hin zu bayes)

BS 3 Häufigkeit = Anzahl der Datenwerte / Gruppe
Relative Häufigkeit = Anzahl der DAtenwerte / Gruppe bezogen auf GEsamtanzahl der Datenwerte h_i = H_i/n
Vorteil der relativen Häufigkeit ist die Vergleichbarkeit relativer Häufigkeiten von zwei Datensätzen

Bildliche Darstellung: http://goo.gl/3Bxgh (weiß leider nicht wie man das hier einbindet)

Quantile

• Berechnung: BS 7
• Was ist das, wozu braucht man das: Um die Eihnteilung der Werte ersichtlich machen zu können
• Ermittlung der Quantile (inverse Verteilung, Ränge)

Summenpolygon (ablesen der Quantile)

Vom Summenpolygon (Empirische Verteilungsfunktion die an den linken oberen Eckpunkten verbunden wird) kann man die Werte (der Verteilungsfnkt.) ablesen.

Boxplot

BS 9,Wikipedia-Boxplot

• Extremwert

Welche Werte Kann man dem Boxplot entnehmen:

• Median
• Quartile (0.25, 0.5, 0.75)
• Whisker mit MAX:1.5*Interquantilabstand von den 0.25/0.75 Quantilen weg.
• Ausreißer (Kreiserln)

Einsatz

Ein Boxplot vermittelt einen Eindruck davon, ob eine Verteilung symmetrisch oder schief ist. Weniger geeignet ist der Boxplot für bi- oder multimodale Verteilungen. Um solche Eigenschaften aufzudecken, empfiehlt sich die Verwendung von Histogrammen bzw. die grafische Umsetzung von Kerndichteschätzungen. Der wesentliche Vorteil des Boxplot besteht im raschen Vergleich der Verteilung in verschiedenen Untergruppen. Während ein Histogramm eine zweidimensionale Ausdehnung hat, ist ein Boxplot im Wesentlichen eindimensional, so dass sich leicht mehrere neben- oder untereinander (wenn waagerecht) auf derselben Skala darstellen lassen.

Q-Q Plot

Quantil Quantil Plot: Wiki Vergleich zweier statistischer Größen auf linearen Zusammenhang

Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit

BS 27, Wiki Wenn die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses A, durch ein Ereigniss B (des selben Merkmalsraums) verändert wird.

• Formel:

$P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}.$

Multiplikationssatz

• (+ was sind unabhängige Ereignisse, was sind disjunkte Ereignisse, Additionssatz)

Satz der vollständigen Wahrscheinlichkeit

Wenn sich der Merkmalsraum in disjunkte Bereiche (Hypothesen H_i) einteilen lässt und die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter jeder Hypothese festgelegt ist, so ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A durch die Formel auf B.Seite 27-2.8

Gesamtwahrscheinlichkeit

"Koennen die Hypothesen beliebige Ereignisse sein? Was wäre wenn die Hypothesen alle =Merkmalsraum waeren? Was waere wenn sie alle leer waeren?"

• Bedingungen die die Hypothesen erfüllen müssen: Müssen Disjunkt sein
• Bedingungen die die Summanden bei dem Satz erfuellen muessen

Vorwärts - Rückwärts

Vorwärtsw. =Vollständige Wahrscheinlichkeit
Rückwärtsw. = Bayes'sche

Bayes'sche Formel und Rueckschlussprinzip

Vom Versuchsausgang A lässt sich auf die Hypothese H_i rückschließen.
BS 28. Wiki
$P(H_{i}|A)={\frac {P(A\cap H_{i})}{P(A)}}={\frac {P(A|Hi)*P(H_{i})}{\sum _{i}(P(A|H_{i})*P(H_{i})}}$

Stochastische Größen

Dichtefunktion

Wiki Wenn sich die stochastische Größe X durch eine integrierbare positive Funktion f(.) beschreiben lässt, die folgende Bedingung erfüllt: Integral(-Infinit,+Infinit)(f(x)/dx) ==1, dann nennt man diese Funktion (wahrscheinlichkeits-)dichtefunktion.

Poisson Verteilung

Die Poisson-Verteilung (benannt nach dem Mathematiker Siméon Denis Poisson) ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die beim mehrmaligen Durchführen eines Bernoulli-Experiments entsteht. Letzteres ist ein Zufallsexperiment, das nur zwei mögliche Ergebnisse besitzt (z. B. „Erfolg“ und „Misserfolg“). Führt man ein solches Experiment sehr oft durch und ist die Erfolgswahrscheinlichkeit gering, so ist die Poisson-Verteilung eine gute Näherung für die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung. (Quelle: Wiki)

Sie ordnet den natürlichen Zahlen k = 0, 1, 2,... die Wahrscheinlichkeiten wie folgt zu:

$P_{\lambda }(X=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }$

• Wo verwendet man sie

Bei geringer Auftrittswahrscheinlichkeit

Binominalverteilung

http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung
Konvergiert punktweise gegen eine Poissonverteilung wenn n->infinit und P->0 geht. (Erklären, Beispiel, Erwartungswert davon, Wie ist der zentrale Grenzverteilungssatz hier anzuwenden)

Ist im Prinzip wie Ziehen mit zurücklegen

Hypergeometrische Verteilung

(Wiki)
Eine diskrete Zufallsgröße $X$ unterliegt der hypergeometrischen Verteilung mit den Parametern $M$, $N$, $n$ und $k$, wenn sie die Wahrscheinlichkeiten

$h(k|N;M;n):=P(X=k)={\frac {\displaystyle {M \choose k}{N-M \choose n-k}}{\displaystyle {N \choose n}}}$

für $k\in \Omega$ besitzt.

Das ist im Grunde wie Ziehen ohne zurücklegen. -> Annäherung an Binomialverteilung möglich -> Annäherung an Poisson

etwas zu stoch. unabhaengigkeit

Wiki
Es sei $(\Omega ,\Sigma ,P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $A,B\in \Sigma$ seien zufällige Ereignisse, also messbare Teilmengen der Ergebnismenge $\Omega$.

Dann heißen A und B stochastisch unabhängig, wenn

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Das ist dann erfüllt, wenn entweder einer der beiden Wahrscheinlichkeiten 0 ist oder einer der Beiden 1 ist.

satz den unbewussten Statisitkers

BS49. Erwartungswert einer Funktion abhängig von einer stochastischen Größe berechenbar

Eg(X)= Integral(g(x) dP(x) )

Varianz

BS 51 Varianz ist die quadratische Abweichung vom Mittelwert siehe BS 11.
Varianz einer stochastischen Größe ist Var(X) = E(X-E(X))²

• Wie kann man die Formel als Summe darstellen?

$\operatorname {Var} (X)=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}p_{i}.$

Die Varianz ist ein Maß, das beschreibt, wie stark eine Messgröße (genauer eine Zufallsgröße) „streut“. Sie wird berechnet, indem man die Abstände der Messwerte vom Mittelwert quadriert, addiert und durch die Anzahl der Messwerte teilt.

wie sieht der Verschiebungssatz der Var aus

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left(\left(X-\operatorname {E} (X)\right)^{2}\right)=\operatorname {E} (X^{2})-\left(\operatorname {E} (X)\right)^{2}$

(Quelle: Wiki)

kovarianz

• Unterschied zur Varianz?
  • Die Verwendung
  • Cov(X,Y) ist ein Vergleich zweier stochastischer Größen
  • die Funktion
  • eigentlich alles bis auf den Namen und dass der Erwartungswert zum Berechnen verwendet wird.
• Wie ist sie definiert

$\operatorname {Cov} (X,Y):=\operatorname {E} {\bigl (}(X-\operatorname {E} (X))(Y-\operatorname {E} (Y)){\bigr )}$

• Was sagt sie aus?

Ist eine Maßzahl für den Zusammenhang zweier statistischer Zufallsvariablen
Die Kovarianz gibt zwar die Richtung einer Beziehung zwischen zwei Variablen an, über die Stärke des Zusammenhangs wird aber keine Aussage getroffen. Dies liegt an der Linearität der Kovarianz.

Erwartungswert

Diskrete Werte: E(X)= Sum(x_i*p_i)= Sum(x_i*P(X=x_i))
Stetigen Weten: = Integral(-infinit, +infinit)(x*f(x) dx))

Allgmeine Fragen

E, Var, Cov, Korrkoeff.,. wurden im Zuge von Vertiefungsfragen aufgearbeitet.

Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie

Erwartungswert einer bedingten Verteilung

BS.71 diskret: E(X|Y=y)= Integral(x*f(x|y) dx)
$\operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x$
$\operatorname {E} (X)=\sum _{i\in I}x_{i}p_{i}=\sum _{i\in I}x_{i}P(X=x_{i})$

Bedingte Verteilung und Bayes-Modell

BS.70, Mathe Uni Ulm

(Zentraler) Grenzverteilungssatz

BS.66 stochastik.jku.at .. Verteilung oft genug zusammengelegt (Versuch öfters durchführen) nähert sich das einer Normalverteilung

• und Stetigkeitskorrektur BS 69 im Bsp

Beim Berechnen zweier Wahrscheinlichkeiten mit unterschiedlichen Verfahren entstehen Differenzen, die aber bei der Berechnung ausgeglichen werden können. Siehe Bsp. 4.2

Gesetz der großen Zahlen

Wiki In ihrer einfachsten Form besagen diese Sätze, dass sich die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses in der Regel der Wahrscheinlichkeit dieses Zufallsergebnisses annähert, wenn das zu Grunde liegende Zufallsexperiment immer wieder durchgeführt wird

Statistische Methodik

Beispielhafte stochastische Groessen

• deren Summe wieder die Verteilung ergibt, mit der diese stochastischen Groessen verteilt sind (sowohl stetige als auch diskrete Beispiele)

Wie z.B. Normalverteilung, Binomialverteilung, ...

• Bedingungen die diese stochastischen Groessen erfüllen müssen damit deren Summe so verteilt ist

Die Stochastischen Größen untereinader müssen unabhängig sein, außer bei der Normalverteilung.

dann gleich weiter zu bayes

korrelation und kovarianz und ein beispiel(nannte ihm messwerte und formel fuer emp. korrelationskoeffizienten zusaetzlich)

schätzer

Kleinste Quadrate Schätzer

worum geht’s (Summe xi – theta1 – theta2*zi), dann herleitung der minimalen Schätzer. Nur sehr grob theoretisch: 1. Ableiung = 0 -> Extremwert, 2.Ableitung positiv -> Minimum

Genauigkeit eines Schätzers

(Bayes'scher Erwartungswert, MSE/Varianz)

Statistische Verfahren

Verwerfungsraum

Erklärt einen Test vollständig http://de.wikipedia.org/wiki/Fehler_2._Art

Satz der vollst. Wahrscheinlichkeit

P(A)=Sum( P(A|H_i)*P(H_i) )

Lineare Regression: was ist das, wozu verwendet man das?

• [Einfachste form, Skizze der Punkte siehe Skriptum, Wo ist sie definiert (-1 – 1)]
• erste Art 71
• lineare 102
• multible 105
• Kleinster Quadratische Schätzer 103
  • (incl. Residuen der kleinsten quadrate)

Definieren Sie Unabhängigkeit (stochastisch und für Ereignisse)

Stochastisch unabhängig

Bayes Unabhängikeit

• was direkt zu Covarianz und Korrelation geführt hat. Dann gab es zum großen Zahlen.
• (Ich habe meist die generelle Formel für stochastische Größen verwendet und musste diese nur einmal konkret abändern (für Korrelation).

Unterschied=

• von Bayes-Formel zu Theorem (a-prior a-posteriori)

bayes theorem

• (auch im bezug auf vollst. P)

Stetigkeitskorrektur

Wiki

Lineare Regression

Bei der Normalverteilung wird die untere Grenze um 0,5 verkleinert und die obere Grenze um 0,5 vergrößert, um eine bessere Approximation bei einer geringen Standardabweichung σ gewährleisten zu können. Dies nennt man auch Stetigkeitskorrektur. Nur wenn σ einen sehr hohen Wert besitzt, kann auf sie verzichtet werden.
Also wenn die Standardabweichung hoch ist, kann auf sie verzichtet werden

Konfidenzintervalle

• (Erklären, Beispiel) wiki

Trifft Aussagen über die Präzision der Lageschätzung eines Parameters.

Es wird also eine Aussage getroffen über einen gewissen Wert. Da dieser wert nur eine Schätzung ist, gilt es jetzt eine Aussage zu treffen, mit welcher Wahrscheinlichkeit der wirkliche Wert sich in einem gewissen Bereich befinden wird.
Dieser Bereich ist das Konfidenzinterfvall.

• wofür braucht man die
  • Es lässt sich aus Vertrauensintervall Ablesen ob etwa die Stichprobe zu klein gewesen ist. Entweder ist die Stichprobe tatsächlich „klein“, oder das untersuchte Phänomen ist so variabel, dass nur durch eine unrealistisch große Stichprobe ein Konfidenzintervall von akzeptabler Breite erreicht werden könnte.
  • Es lässt sich ein Wertebereich errechnen, in dem der geschätzte Wert mit einer angenommenen Wahrscheinlichkeit liegt.
• wie definiert man sowas

korrelation

Wiki
Die Korrelation beschreibt die Beziehung zwischen zwei oder mehreren statistischen Variablen. Wenn sie besteht, ist noch nicht gesagt, ob eine Größe die andere kausal beeinflusst, ob beide von einer dritten Größe kausal abhängen oder ob sich überhaupt ein Kausalzusammenhang folgern lässt. Diese Beziehung kann linear aber auch nichtlinear sein und mittels verschiedenster Funktionen der Mathematik beschrieben werden.

Korrelationskoeffizient

BS 61, 97 (von dort zu Kovarianz, Varianz, Erwartungswert, Standardabweichung)

T-Test

• nur Einsatzgebiet bzw Möglichkeiten, keine Formeln.
• zwei Verteilungen (gefragt war Test auf identischen Mittelwert)

Oft ist jedoch mit dem t-Test der Einstichproben- bzw. Zweistichproben t-Test gemeint:

• Der Einstichproben t-Test prüft anhand des Mittelwertes einer Stichprobe, ob der Erwartungswert einer Grundgesamtheit gleich, kleiner oder größer einem vorgegebenem Wert ist.
• Der Zweistichproben t-Test prüft anhand der Mittelwerte zweier Stichproben, ob die Erwartungswerte zweier Grundgesamtheiten gleich, kleiner oder größer sind.

(Quelle: Wiki)

Noch Unzugeordnet

unabhängig

nur kurz was das ist

Geometrische Verteilung + Erwartungswert

BS51 (wusste ich nicht, hab ich aber ausrechnen können:1/p)

Empirischer Korrelationskoeffizient

• (+ was ist korrelation, was ist kovarianz)

Test auf Unabhängigkeit

• bei NV (+ was sind unabhängige stochastische Größen)

Erwartungstreue von Schätzern

• (+ asymptotische)