TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie VO/UE (Felsenstein)/Prüfung 2010-10-07

Summenpolygon

Für die folgende Stichprobe zeichne man die empirische Verteilungsfunktion und das Summenpolygon.

${\begin{array}{c c c c c c c c c c}65.8&71.7&51.4&78.4&98.7&56.7&24.9&38.7&44.3&99.5\end{array}}$

Mit dem Summenpolygon ermittle man graphisch das dritte Quartil. Außerdem berechne man auch das 3. Quartil.

Gemeinsame Verteilung

Die stochastische Größe X kan die Werte 1, 5, 10 annehmen und Y kann die Werte 0 oder 10 annehmen. Die folgende Tabelle gibt die Punktwahrscheinlichkeiten $P[X=x,Y=y]$ der gemeinsamen Verteilung an.

${\begin{array}{c|c c c}\hline y/x&1&5&10\\\hline 0&0&0.3&0.2\\10&0.1&0.3&c\\\hline \end{array}}$

Man bestimme den Wert $c$ und den Korrelationskoeffizienten $\rho _{X,Y}$. Sind $X$ und $Y$ unabhängig?

Zufallsvariable

Die stochastische Größe $X$ besitzt die Dichte ${\mathit {f}}(.)$

${\mathit {f}}(x)=\theta {\sqrt {x}}\qquad f{\ddot {u}}r\qquad 0\leq x\leq 9$

und ${\mathit {f}}(x)=0$ außerhalb des Intervalls.

a) Man bestimme den Parameter $\rho$ und berechne den Erwartungswert $\operatorname {E} X$.

b) Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $\operatorname {P} [X>5|X\leq 7]$ ?

Regression

Die Kundenfrequenz (in 100.000) pro Jahr in einem Einkaufszentrum war in den letzten Jahren.

${\begin{array}{c|c c c c c c}Jahr:&2004&2005&2006&2007&2008&2009\\\hline Kundenanzahl:&1.56&1.6&1.67&1.95&1.92&2.08\\\end{array}}$

Mit einer Regressionsgeraden prognostiziere man die Kundenfrequenz für heuer.

Lösungsvorschlag

Beispiel 1

siehe: [1] (empirische Verteilungsfunktion sieht aus wie eine Stiege, Summenpolygon verbindet die Punkte)

Beispiel 2

${\begin{array}{c|c c c | c}y/x&1&5&10&\quad \\\hline 0&0&0.3&0.2&0.5\\10&0.1&0.3&c&0.4+c\\\hline \quad &0.1&0.6&0.2+c&1\end{array}}$

a) Da $\sum _{i=1}^{m}P[X=x_{i}]=\sum _{j=1}^{m}P[Y=y_{i}]=1\quad \rightarrow \quad c=0.1$

Da die Verteilung nicht dem Produkt der Randverteilungen entspricht, sind die Zufallsvariablen X und Y nicht unabhängig.

b) $\rho _{XY}={\frac {\sigma _{XY}}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}$

$E(X)=\sum _{i=1}^{m}x_{i}\cdot P[X=x_{i}]=1\cdot 0.1+5\cdot 0.6+10\cdot 0.3=6.1$

$E(Y)=\sum _{j=1}^{n}y_{j}\cdot P[Y=y_{j}]=0\cdot 0.5+10\cdot 0.5=5.0$

$Var(X)=\sigma _{X}^{2}=E(x^{2})-(E(x))^{2}=\sum _{i=1}^{m}x_{i}^{2}\cdot P[X=x_{i}]-E(X)^{2}=1^{2}\cdot 0.1+5^{2}\cdot 0.6+10^{2}\cdot 0.3-6.1^{2}=7.89\quad \rightarrow \quad \sigma _{X}\approx 2.8089$

$Var(Y)=\sigma _{Y}^{2}=\sum _{j=1}^{n}y_{j}^{2}\cdot P[Y=y_{i}]-E(Y)^{2}=0^{2}\cdot 0.5+10^{2}\cdot 0.5-5^{2}=25\quad \rightarrow \quad \sigma _{Y}=5$

$\sigma _{XY}=E(XY)-E(X)E(Y)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}x_{i}y_{j}P[X=x_{i}\land Y=y_{j}]-E(X)E(Y)=1\cdot 0\cdot 0+1\cdot 10\cdot 0.1+5\cdot 10\cdot 0.3+10\cdot 0\cdot 0.2+10\cdot 10\cdot 0.1-5\cdot 6.1=1+15+10-30.5=-4.5$

$\rho _{XY}={\frac {\sigma _{XY}}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}={\frac {-4.5}{{\sqrt {7.89}}\cdot 5}}\approx -0.3204$

Beispiel 3

$F(x)=\int \theta {\sqrt {x}}\,dx=\theta {\frac {{\sqrt {x}}^{3}}{\frac {3}{2}}}={\frac {2\theta }{3}}{\sqrt {x^{3}}}$

a) $F(9)-F(0)=1\quad {\xrightarrow[{}]{}}\quad {\frac {2\theta }{3}}{\sqrt {9^{3}}}=1\quad {\xrightarrow[{}]{}}\quad {\frac {54\cdot \theta }{3}}=1\quad {\xrightarrow[{}]{}}\quad 18\cdot \theta =1\quad {\xrightarrow[{}]{}}\quad \theta ={\frac {1}{18}}$

$f(x)={\frac {\sqrt {x}}{18}}\quad F(x)={\frac {\sqrt {x^{3}}}{27}}$

$E(X)=\int _{-\infty }^{\infty }x\cdot f(x)\,dx=\int _{0}^{9}x{\frac {\sqrt {x}}{18}}\,dx={\frac {\sqrt {x^{5}}}{45}}{\Big |}_{0}^{9}={\frac {\sqrt {9^{5}}}{45}}-{\frac {\sqrt {0^{5}}}{45}}={\frac {27}{5}}=5.4$

b) $\operatorname {P} [X>5|X\leq 7]={\frac {\operatorname {P} [X>5\land X\leq 7]}{\operatorname {P} [X\leq 7]}}={\frac {F(7)-F(5)}{F(7)-F(0)}}={\frac {{\frac {\sqrt {7^{3}}}{27}}-{\frac {\sqrt {5^{3}}}{27}}}{\frac {\sqrt {7^{3}}}{27}}}={\frac {{\sqrt {7^{3}}}-{\sqrt {5^{3}}}}{\sqrt {7^{3}}}}\approx 0.3963$

Beispiel 4

${\begin{array}{c|c c c c c c}i&1&2&3&4&5&6\\\hline j_{i}:&2004&2005&2006&2007&2008&2009\\\hline k_{i}:&1.56&1.6&1.67&1.95&1.92&2.08\\\end{array}}$

$\mu _{J}=2006.5\quad \mu _{K}=1.79{\dot {6}}\quad \sigma _{J}^{2}=3.5\quad \sigma _{K}^{2}\approx 0.04595$

$\sum _{i=1}^{n}j_{i}^{2}=24156271\quad \sum _{i=1}^{n}k_{i}^{2}=19.5978\quad \sum _{i=1}^{n}j_{i}k_{i}=3605.331{\dot {6}}$

${\hat {k}}=\theta _{1}+\theta _{2}j\quad \theta _{1}={\frac {{\bar {k}}\sum j_{i}^{2}-{\bar {j}}\sum k_{i}j_{i}}{\sum j_{i}^{2}-n{\bar {j}}^{2}}}\quad \theta _{2}={\frac {\sum k_{i}j_{i}-n{\bar {k}}{\bar {j}}}{\sum j_{i}^{2}-n{\bar {j}}^{2}}}$

${\hat {k}}_{i}=0.109714i+1.41267=0.109714j_{i}-218.344472$

Prognose für 2010: ${\hat {k}}_{7}=0.109714\cdot 2010-218.344472=2,180668$