TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie VO (Dutter)/Anleitung für Dichtefunktionsbeispiele bestimmter Form

Einleitung

Dboons einigermaßen generalisiertes Rezept für bestimmte Testbeispiele. Gedacht hilfreicher zu sein als das Dutter-Skriptum (mit z.B. seinen -/+∞-Integralgrenzen und unnötig komplizierten Erwartungswertformel) für solche Beispiele. Nützliche Ergänzung/Änderungen immer erwünscht.

Oft gibt es zur schriftlichen Prüfung ein Beispiel mit einer Dichtefunktion ("Dichte") gegeben (vereinzelt nur als Bild) von der man dann die Verteilungsfunktion und vieles mehr berechnen muss. Von ein paar Ausnahmen abgesehen (wie Prf. vom 09.10.2013), haben diese immer eine endliche "Ausdehnung", sind stetig differenzierbar und sind und lassen sich in folgender Form darstellen:

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{cases}“): {\displaystyle f(x)= \begin{cases} 0 & x \leq s_1\\ f_1(x) & s_1 < x \leq s_2\\ f_2(x) & s_2 < x \leq s_3\\ \hskip 1em \vdots & \hskip 2.4em \vdots\\ f_n(x) & s_n < x \leq s_{n+1}\\ 0 & x > s_{n+1}\\ \end{cases}}

Wobei $s_1$ bis $s_{n-1}$ Konstanten sind. Ob jetzt genau jeweils $<$ oder $\le$ (bzw. $>$/$\ge$) spielt keine Rolle, da es bei stetigen Verteilungen keine "Punktwahrscheinlichkeit" gibt. Wer es nicht glaubt einfach mal überlegen was passiert wenn die Integralgrenzen gleich sind…

Vorgehensweisen

Verteilungsfunktion

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{cases}“): {\displaystyle P(X \le x) = F(x)= \begin{cases} 0\ & x \leq s_1\\ F_1(x) = \int\limits_{s_1}^{x} f_1(t)\,\mathrm{d}t & s_1 < x \leq s_2\\ F_2(x) = \int\limits_{s_2}^{x} f_2(t)\,\mathrm{d}t + F_1(s_2)& s_2 < x \leq s_3\\ \hskip 4em \vdots \hskip 4em \vdots & \hskip 2.7em \vdots \\ F_n(x) = \int\limits_{s_n}^{x} f_n(t)\,\mathrm{d}t + F_{n-1}(s_n) & s_n < x \leq s_{n+1}\\ 1\ & x > s_{n+1}\\ \end{cases}}

$s_1$ bis $s_{n-1}$ sind die selben Konstanten wie bei der Dichtefunktion und wegen Stetigkeit spielt genaue "Grenzziehung", also wieder ob genau $<$/$\le$ und $>$/$\ge$, wiederum keine Rolle.

Die Teile (Summanden) mit dem Integral sind jeweils für den Teil des aktuellen Abschnitt (also zwischen $s_i$ und $s_{i+1}$), das was dazuaddiert wird (also $F_j(s_{j+1})$) steht für die ganzen vorigen Abschnitte.

Nicht vergessen: ${\int }_{s_1}^{s_{n+1}}f(x)\mathrm{d}x=1$ (nützlich zu wissen wenn man z.B. Unbekannte in Formel herausfinden soll ).

Erwartungswert ("Mittel")

$E[X]={\int }_{s_1}^{s_{n+1}}xf(x)\mathrm{d}x={\int }_{s_1}^{s_2}x{f}_1(x)\mathrm{d}x+\dots +{\int }_{s_n}^{s_{n+1}}x{f}_n(x)\mathrm{d}x$

α-Quantil (z.B. Median: α = 0.5)

Man will einen Wert $x_{\alpha }$ finden der $F(x_{\alpha })=\alpha$ erfüllt. Dazu schaut man sich am besten zuerst an welche "Unterfunktion(en))" (wie $F_1$ usw.) überhaupt in Frage kommt/kommen, z.B. indem man die jeweiligen Grenzen einsetzt. Wenn es sich nicht gerade um eine konstante Funktion handelt, formt man diese nach $x$ um und erhält so ein mögliches $x_{\alpha }$.

Fleißaufgabe?

Kommen mehrere Werte in Frage dann bietet sich folgendes an: Ist $x_{\alpha ,1}$ der kleinste und $x_{\alpha ,2}$ der größte Wert aus dem Intervall $[s_1,s_{n+1}]$ mit dem $F(x_{\alpha ,1})\le \alpha \le F(x_{\alpha ,2})$ erfüllt wird, dann ist das arithmetische Mittel dieser beiden Werte ein sinnvolles $x_{\alpha }$ (beim Median ist ein solch gewählter dann damit auch gleich dem Erwartungswert bei symmetrischen Verteilungen).

Varianz (und Standardabweichung als Wurzel davon)

$Var[X]=E[(X-E[X]{)}^2]=E\left[X^2\right]-E[X{]}^2$ (wobei $E\left[X^2\right]={\int }_{s_1}^{s_{n+1}}{x}^{2}f(x)\mathrm{d}x$)

Anpassungstest (hier immer χ²)

Angaben in der Art, dass eine (in Klassen eingeteilte) Stichprobe präsentiert wird und man testen soll ob man (mit einer bestimmten Konfidenz) sagen kann, dass die Verteilung der Grundgesamtheit dieser mittels der Funktion verteilt ist.

Hier ist das Skriptum relativ klar: Man rechnet sich zu jeder $i$-aus-$k$-ten Klasse ein $e_i=n{p}_i$ aus, wobei $n$ die Stichprobengröße und $p_i$ die (theoretische) Wahrscheinlichkeit laut der Funktion ist, also hier bei stetigen Zufallsvariablen $P(a_i<X\le b_i)={\int }_{a_i}^{b_i}f(x)\mathrm{d}x=F(b_i)-F(a_i)$, wobei $a_i$ die kleinere und $b_i$ größere der beiden Intervallgrenzen der jeweiligen Klasse bezeichnet (bei diskreten Zufallsvariablen wäre das einfach die Punktwahrscheinlichkeit). Damit wird dann zusammen mit der Anzahl der Punkten in jeder Klasse ($h_i$) die Teststatistik berechnet:

$T=\sum _{i=1}^k\frac{(h_i-e_i{)}^2}{e_i}$