TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie VO (Dutter)/Prüfung 2008-06-24

Abgeschrieben von hier, insgesamt gab es 20 Punkte.

Unterlagen: Nur das Skriptum (mit eigenen Notizen) und Taschenrechner sind zulässig!

Frage 1

Gegeben seien die folgenden konkreten Stichproben aus zwei normalverteilten unabhängigen Grundgesamtheiten mit den Mittelwerten $\mu _{x}$ bzw. $\mu _{Y}$ und den Varianzen $\sigma _{X}^{2}$ bzw. $\sigma _{Y}^{2}$:

X	2.33	4.69	2.80	3.59	3.45	3.64	3.04	3.00	3.41	2.03
Y	2.08	1.72	0.71	1.65	2.56	3.27	1.21	1.58	2.13	2.92

Hinweis: Es gilt $\sum {x_{i}}=31.98,\quad \sum {y_{i}}=19.83,\quad \sum {x_{i}^{2}}=107.2958,\quad \sum {y_{i}^{2}}=44.7817$.

Lösung pdf attachment

a (2 Punkte)

Frage: Ermitteln sie (zweiseitige) Konfidenzintervalle mit Ueberdeckungswahrscheinlichkeit 0.95 fuer $\sigma _{X}^{2}$ und $\sigma _{Y}^{2}$. Wie sind diese Konfidenzintervalle zu interpretieren?

b (2 Punkte)

Frage: Prüfen sie die Gleichheit der Varianzen $\sigma _{X}^{2}$ und $\sigma _{Y}^{2}$ mit der Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha =0.02$.

c (3 Punkte)

Frage: Nehmen Sie nun die Gleichheit der Varianzen an und prüfen Sie mit der Irrtumswahrscheinlichkeit 1%, ob beide Stichproben aus Grundgesamtheiten mit gleichen Verteilungen stammen (d.h. Test auf Gleichheit der Mittel).

Frage 2

Es wurden Grundwasseruntersuchungen durchgefuehrt, wobei der Gehalt einer Reihe chemischer Elemente bestimmt wurden. Zwei davon sind in folgender Tabelle aufgelistet:

Selenium (SE)	7.0	6.7	6.1	7.2	7.2	6.9	7.7	6.6	6.5	7.6
Arsenic (AS)	0.65	0.48	0.36	0.66	0.63	0.53	0.75	0.43	0.38	0.79

a (3 Punkte)

Frage: Ueberpruefen Sie graphisch mittels Wahrscheinlichkeitsnetz, ob die Daten aus normalverteilten Grundgesamtheiten stammen. Schaetzen Sie die Parameter graphisch.

Anmerkung: Laut diesen Thread wird ein Wahrscheinlichkeitspapier (also der Zettel mit dem Koordinatensystem drauf) ausgeteilt. Anmerkung 2: Ein Wahrscheinlichkeitsnetz gab es schon mal am 6.12.2005. SpacecowboyJ hats hier geloest. (Allerdings hat das halt ganz andere Daten)

b (3 Punkte)

Frage: Testen Sie auf dem Signifikanzniveau $\alpha =0.05$, ob es zweischen beiden Variablen einen linearen Zusammenhang gibt.

Frage 3

In einer Schachtel befinden sich 3 Münzen. Eine dieser Münzen hat auf beiden Seiten Zahl. Eine zufällig ausgewählte Münze wird geworfen. Erscheint Zahl, so wird dieselbe Münze noch einmal geworfen. Erscheint hingegen Wappen, so wird von den beiden restlichen Münzen eine weitere ausgewählt und geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass

• zweimal Zahl erscheint? (1 Punkt)
• mit der Münze, die beidseitig Zahl hat, geworfen wurde, wenn dieselbe Münze zweimal geworfen wird? (1 Punkt)
• zweimal Wappen erscheint? (1 Punkt)

gleiches Bsp. siehe hier

Frage 4 (4 Punkte)

Eine Woche lang wurde jeden Tag eine Stichprobe aus der Produktion von Schokolade-Nikolausen beobachtet, wobei für das Gewicht der Schokolade (Nenngewicht 10g) folgendes Meßprotokoll anfiel:

Tag	Probe
Montag	9.87	9.91	9.74	9.81	9.92
Dienstag	9.20	10.68	9.71	9.76	10.48
Mittwoch	9.92	10.86	9.76	9.35	9.49
Donnerstag	10.60	10.08	9.79	10.57	10.75
Freitag	8.68	9.83	9.64	9.18	9.32

Unter der Annahme, dass die Daten an den einzelnen Tagen normalverteilt mit der gleichen Varianz $\sigma$ sind, testen Sie, ob das durchschnittliche Gewicht ueber die Woche gleich bleibt? (Signifikanzniveau $\alpha =0.05$)

War schon mal: Und zwar zumindest am 9.10.2007, 8.3.2005 und 21.6.2005. SpacecowboyJ hat das hier schon geloest.