TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie VO (Dutter)/Prüfung 2008-11-05

Prüfung vom 5.11.2008, abgeschrieben von hier. Insgesamt gab es 20 Punkte.

Unterlagen: Nur das Skriptum (mit eigenen Notizen) und Taschenrechner sind zulässig!"

Beispiel 1

Die Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße X sei gegeben durch

$F(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{for }}x<0\\cx(3x+2),&{\mbox{for }}0\leq x<1\\{\frac {1}{3}}(x+1),&{\mbox{for }}1\leq x<2\\1,&{\mbox{for }}x>2\end{cases}}$

Anmerkung: Aehnliches, aber etwas einfacheres Beispiel: Medium:TU_Wien-Statistik_und_Wahrscheinlichkeitstheorie_VO_(Dutter)_-_Ausarbeitung_2005_06.pdf (24.Jänner 2006, Beispiel 3, Seite 56, von SpacecowboyJ)

Anmerkung: Kam schon mal: 11.10.2006, Loesung von Unic0der.

a (2 Punkte)

Frage: Berechnen Sie die zugehörige Dichtefunktion $f$ sowie die Konstante $c$.

b (1 Punkte)

Frage: Berechnen Sie den Erwartungswert $EX$.

c (1 Punkte)

Frage: Berechnen Sie die Varianz $Var(X)$.

d (2 Punkte)

Frage: Berechnen Sie den Median von $X$.

Beispiel 2 (5 Punkte)

Auf einem Versuchsfeld werden 4 Sorten Weizen auf ihren Betrag gestestet. Dazu wurden die Erträge von je 7 jeweils 50m langen Reihen dieser Sorte gewogen. Dabei ergaben sich folgende Gewichte (in kg) pro Reihe:

	Reihe
Sorte	1	2	3	4	5	6	7	${\bar {x_{i}}}$	$s_{i}$
1	3.7	3.7	3.4	4.1	4.0	3.1	2.9	3.557	0.4467
2	4.1	3.9	3.6	3.2	3.5	4.0	4.2	3.786	0.3625
3	5.1	3.6	4.0	3.7	3.1	3.1	2.7	3.614	0.7883
4	4.8	3.3	3.9	4.7	3.8	3.8	4.4	4.100	0.5477

Es gilt: $\sum _{i=1}^{28}x_{i}=105.4$ und $\sum _{i=1}^{28}x_{i}^{2}=405.5$

Unter der Annahme der Normalverteilung und gleicher Varianzen, überprüfen Sie, ob die mittleren Gewichte der vier Sorten übereinstimmen? (Signifikanzniveau $\alpha =0.05$)

ähnliches Bsp. 3d

Beispiel 3

Folgende Tabelle gibt Aufschluss über die Ersparnisse von privaten Haushalten sowie deren verfügbare Einkünfte in den Jahren 1976-1985 (in Mill. WE):

Jahr	1976	1977	1978	1979	1980	1981	1982	1983	1984	1985
Einkommen	34.2	40.8	42.5	47.3	50.1	52.6	56.9	61.4	73.5	76.7
Ersparnisse	2.8	4.1	4.5	4.3	4.9	5.8	7.0	7.7	8.1	8.8

a (2 Punkte)

Frage: Zeichnen Sie die Boxplot-Darstellung der Variable "Ersparnisse".

b (3 Punkte)

Frage: Es wird vermutet, dass die Ersparnisse annähernd linear vom verfügbaren Einkommen abhängen. Schätzen Sie die Parameter der Regressionsgeraden und die Fehlervarianz.

c (2 Punkte)

Frage: Testen Sie die in b) angestellte Vermutung auf dem Niveau $\alpha =0.05$.

d (3 Punkte)

Frage: Geben sie ein 95% Konfidenzintervall für die Ersparnisse bei 70 Mill. WE verfügbaren Einkünften.

Anmerkung:

Diese Beispiel kam schon mal, und zwar in der Prüfung vom 08.11.2005. Eine Lösung gibt es hier

das 3d Bsp findet man hier