TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie VO (Dutter)/Prüfung 2012-12-11

Frage 1

Beispiel-Aufstellung:

XX
OO
OO

${\frac {{\color {Red}\overbrace {2!} ^{\text{Anord. TU-Stud.}}\ }{\color {Green}\overbrace {4!} ^{\text{Anord. restl. Stud.}}\ }{\color {Blue}\overbrace {3} ^{\text{Positionen der beiden TU-Stud. zus.}}}}{6!}}={\frac {144}{720}}={\frac {1}{5}}$

Frage 2

Überlegung: Wenn Ja = 1 und Nein = 0, dann sagt Erwartungswert größer bzw. kleiner 0.5 aus, ob eher zu Ja bzw. Nein tendiert wird.

Vorgehensweise ähnlich wie bei Beispiel 5.11 (S. 85) aus dem Skriptum (SS11).

Lösungsvorschlag

$H_{0}:p=.5,H_{1}:p<.5$

$z=({\bar {X}}-.5)/{\sqrt {.5(1-.5)/302}}={\frac {{\tfrac {146}{302}}-{\tfrac {1}{2}}}{\frac {1}{2{\sqrt {302}}}}}\approx -{\frac {.01656}{.02877}}\approx -.5754$

Da $\alpha =0.1$ und es ein einseitiger Test und es wird $H_{0}$ verworfen, falls $Z<-1.28$, das ist aber nicht der Fall. Es sprechen sich nicht signifikant weniger als die Hälfte dafür aus.

Frage 3

Wie Bsp. 6 und 12 aus der 2006-2009-Beispielsammlung: Datei:TU Wien-Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie VO (Dutter) - 2006-2009 Prüfungsbeispiel12neu.pdf nur mit anderen Zahlen.

schnelles Vorgehen mittels TI-82 STATS

x nach L1 und y nach L2, dann:

2-Var Stats L1,L2

${\hat {a}}$ erhält man dann mittels

ȳ→A

Ergebnis: 18.99

und ${\hat {b}}$ durch (wobei wir es für später auch gleich in eine Variable speichern)

(Σxy-10x̄ȳ)/9/Sx²→B

Ergebnis: ~1.2782

$\Longrightarrow {\hat {y}}_{x}=18.99+1.2782(x-{\bar {x}})$

$\sigma ^{2}$ wird dann geschätzt per

9/8(Sy²-B²Sx²)→S

Ergebnis: ~0.7606

$\Longrightarrow \sigma ^{2}\approx 0.7606$

Schätzen des Umsatzes von 1991 durch Einsetzen in Regressionsgerade

A+B(91-x̄)→Y

Ergebnis: 26.02

$\Longrightarrow {\hat {y}}_{91}=26.02$

Konfidenzintervall

2.306√(S(.1+(91-x̄)²/(9Sx²)))→Θ

Ergebnis: ~1.3738

Y+Θ

Ergebnis: ~27.3938

Y-Θ

Ergebnis: ~24.6462

$\Longrightarrow$ 95%-Konfidenzintervall: $24.6462<\mu _{y.91}<27.3938$

noch schneller zur Regressionsgerade

Noch schneller geht es mit der eigens dafür eingebauten Funktion:

LinReg(ax+b) L1,L2

Wenn man diese Funktion zur Berechnung der lin. Regression verwendet, dann bekommt man die Werte für ein bisschen ein anderes Format präsentiert. Aus dem Skriptum kennen wir ${\hat {a}}+{\hat {b}}(x-{\bar {x}})$, der Taschenrechner geht dagegen von $ax+b$ aus. Daraus folgt, dass ${\hat {b}}=a$ und ${\hat {a}}=b+a{\bar {x}}$.

a→B
b+ax̄→A

Hätte man vorher

LinReg(ax+b) L1,L2,Y1

eingegeben, könnte man jetzt auch auf folgende Weise die Vorhersage für 1991 treffen:

Y1(91) 

Frage 4

Ähnlich TU_Wien:Statistik_und_Wahrscheinlichkeitstheorie_VO_(Dutter)/Prüfung_2011-10-04_Lösung Bsp 2. Siehe auch [[1]]

Lösungsvorschlag

1. - (Varianzen können unterschiedlich sein)
2. + (verkehrt linear abhängig)
3. - (unabhängig von µ)
4. - (praktisch Gegenteil von b)
5. - (jegliche Verteilung möglich, da dann kaum Aussagen zu IQR möglich)

[2]

Frage 5

Ähnliche Frage: Datei:TU Wien-Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie VO (Dutter) - gamma maximum likelihood hosting frage.pdf

Lösung: Datei:TU Wien-Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie VO (Dutter) - gamma maximum likelihood hosting lösung.pdf

Lösung von a anhand des PDFs

Likelihood-Funktion ist Produkt der Funktionen, da es in diesem Fall "unabhängige Realisierungen der Zufallsvariablen" sind. Es gibt Potential zum klugen Umformen:

$\ell (\theta \,|\,x_{1}\ldots x_{n})=\prod _{i=1}^{n}f(x_{i})={\color {Plum}\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{3}}{\frac {e^{-1/\theta {\color {OliveGreen}\sum _{j=1}^{n}x_{j}}}}{{\color {Plum}6^{n}}\theta ^{4n}}}={\color {Plum}r}{\frac {e^{-{\color {OliveGreen}s}/\theta }}{\theta ^{4n}}}$

Wobei $s=\sum _{j=1}^{n}x_{j}$ und $r$ das ist was nicht mit $\theta$ zu tun hat und auch einfach exzidiert werden kann (vorausschauend in Bezug auf spätere Ableitung).

Logarithmus ändert nichts an den Extremstellen, macht aber manchmal die Sache ein bisschen einfacher:

$\ln \ell (\theta \,|\,x_{1}\ldots x_{n})=\ln r-{\frac {s}{\theta }}-4n\ln \theta$

Jetzt ableiten:

${\frac {d}{d\theta }}\left(\ln r-{\frac {s}{\theta }}-4n\ln \theta \right)=0-\left(-s{\frac {1}{\theta ^{2}}}\right)+4n{\frac {1}{\theta }}={\frac {s}{\theta ^{2}}}+{\frac {4n}{\theta }}$

Auf zum Nullsetzen und gegen $\theta$ lösen!

${\begin{aligned}{\frac {s}{\theta ^{2}}}-{\frac {4n}{\theta }}&=0\\{\frac {s}{\theta }}-4n&=\\{\frac {s}{\theta }}&=4n\\\theta &={\frac {\sum _{j=1}^{n}x_{j}}{4n}}\\&={\frac {\bar {x}}{4}}\end{aligned}}$

($n\neq 0$ natürlich)

Schätzung mittels ML-Methode ist damit also ${\tfrac {642.4}{4}}=160.6$.

Ich denke man könnte man alternativ neben dem $k$ auch die Werte für $n$ und die $x_{i}$s früher einsetzen, bringt aber in dem Fall nichts.