TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie VO (Gurker)/0. Prüfungsordner Gurker (ab WS 2014)/Ausarbeitung 2016-06-08

Aufgabe 1

$x_{0.75}\approx 96$

${\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum x_{i}=63.8$

$s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum (x_{i}-{\overline {x}})^{2}=3275.0667$

$s={\sqrt {s^{2}}}=57.2282$

Aufgabe 2

${\widetilde {x}}=88$

$Q_{1}=75$

$Q_{3}=111$

$LF=Q_{1}-1.5(Q_{3}-Q_{1})=21$

$UF=Q_{3}+1.5(Q_{3}-Q_{1})=165$

Whiskers oben bis 139 und unten bis 23. Ausreißer bei 170

Aufgabe 3

$F(X)={\begin{cases}0&\quad x<0\\{\frac {3x+4}{16}}&\quad 0\leq x\leq 4\\1&\quad x>4\\\end{cases}}$

$f^{*}(x)=F'(x)={\frac {3}{16}}$

$E(x)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx=\int _{0}^{4}{\frac {3x}{16}}=\left.{\frac {3x^{2}}{32}}\right|_{0}^{4}={\frac {3}{2}}$

$E(x^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)dx=\int _{0}^{4}{\frac {3x^{2}}{16}}=\left.{\frac {3x^{3}}{48}}\right|_{0}^{4}=4$

$Var(x)=E(x^{2})-(E(x))^{2}=4-(1.5)^{2}=1.75$

${\widetilde {x}}=x_{0.5}=F^{-1}(0.5)={\frac {16\cdot 0.5-4}{3}}={\frac {4}{3}}$

Aufgabe 4

$F(x)=1-\prod _{i=1}^{n}(1-F_{i}(x))=1-\prod (1-(1-e^{-\lambda _{i}x}))=1-\prod e^{-\lambda _{i}x}=1-(e^{-x}\cdot e^{-2x}\cdot e^{-3x})=1-e^{-6x}$

$f(x)=F'(x)=6e^{-6x}$

Exponentialverteilung mit $\lambda =6$

Erwartungswert und Streuung einer Exponentialverteilung: $E(X)=Streuung(X)=1/\lambda =1/6$

Wegen Gedächtnislosigkeit gilt:

$P(X\leq 1\,|\,X>{\frac {1}{2}})=1-P(X>1\,|\,X>{\frac {1}{2}})=1-P(X>{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\,|\,X>{\frac {1}{2}})=1-P(X>1/2)=P(X\leq {\frac {1}{2}})=F(1/2)=1-e^{-6/2}=0.9502$

Aufgabe 5

a

$K\dots {\text{ Person ist krank}}$

$T\dots {\text{ Test ist positiv}}$

$P(K)=0.03$

$P(K^{c})=0.97$

$P(T|K)=0.98$

$P(T|K^{c})=0.05$

$P(K|T)={\frac {P(T|K)P(K)}{P(T|K)P(K)+P(T|K^{c})P(K^{c})}}=0.3774\approx 38\%$

b

$y=g(x)={\sqrt {x}}\rightarrow x=g^{-1}(y)=y^{2}$

$J={\frac {dg^{-1}(y)}{dx}}=(y^{2})'=2y$

$f_{Y}(y)=f_{X}(g^{-1}(y))|J|$ für $y\in S_{Y}$

$f_{Y}(y)={\begin{cases}2y&\quad 0<y<1\\0&\quad {\text{sonst}}\\\end{cases}}$

c

$a_{1}=1,a_{2}=-2,a_{3}=3$

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\sim N(\sum a_{i}\mu _{i},\sum a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2})$

$X_{1}-2X_{2}+3X_{3}\sim N(1\cdot 0-2\cdot 0+3\cdot 0,1^{2}\cdot 1+(-2)^{2}\cdot 1+3^{2}\cdot 1)=N(0,14)$

Aufgabe 6

a1

$P(X\geq 50)=1-P(X\leq 49)\approx 1-\Phi \left({\frac {49.5-60\cdot 0.8}{\sqrt {60\cdot 0.8\cdot 0.2}}}\right)=1-\Phi (0.4841)=1-0.6844=0.3156\approx 32\%$

a2

$P(X=50)=P(50\leq X\leq 50)=\Phi \left({\frac {50.5-60\cdot 0.8}{\sqrt {60\cdot 0.8\cdot 0.2}}}\right)-\Phi \left({\frac {49.5-60\cdot 0.8}{\sqrt {60\cdot 0.8\cdot 0.2}}}\right)=0.7910-0.6844=0.1066\approx 11\%$

a3

siehe oben: $P(X\leq 49)\approx 0.6844\approx 68\%$

b

$KI:{\widehat {p}}\pm z_{1-\alpha /2}{\sqrt {\frac {{\widehat {p}}(1-{\widehat {p}})}{n}}}$

${\widehat {p}}=18/250=0.072$

$\alpha =0.05$

$z_{1-\alpha /2}=z_{0.975}=1.9600$

$KI=(0.03996,0.10404)$

Aufgabe 7

$n_{1}=20,\;n_{2}=20,\;{\overline {X}}_{1}=50.19,\;{\overline {X}}_{2}=52.52,\;S_{1}=1.71,\;S_{2}=2.48$

(a) Test für die Varianzen von zwei Normalverteilungen

(Der $F$-Wert ist nicht in der Tabelle im Skriptum, wurde bei der Prüfung auf die Tafel geschrieben. Hier aus WolframAlpha.)

$F_{19,19,0.95}=2.168,\;F_{19,19,0.05}={\frac {1}{2.168}}=0.461$

$F_{0}={\frac {S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}}={\frac {1.71^{2}}{2.48^{2}}}\approx 0.4754$

$F_{19,19,0.05}<F_{0}<F_{19,19,0.95}\quad \Rightarrow {\mathcal {H}}_{0}\,{\text{nicht verwerfen}}$

(b) Gepoolte Stichprobenvarianz

$S_{p}^{2}={\frac {(n_{1}-1)S_{1}+(n_{2}-1)S_{2}}{(n_{1}-1)+(n_{2}-1)}}={\frac {19\cdot 1,71^{2}+19\cdot 2.48^{2}}{38}}\approx 4.5373$

(c) Test für die Mittelwerte von zwei Normalverteilungen

$t_{38,0.975}=2.024\,$

$T_{0}={\frac {{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}}{S_{p}{\sqrt {1/m+1/n}}}}={\frac {-2.33}{{\sqrt {S_{p}^{2}}}{\sqrt {0,1}}}}=-3.4591$

$|T_{0}|=3.4591>2.024=t_{38,0.975}\quad \Rightarrow {\mathcal {H}}_{0}\,{\text{verwerfen}}$

Aufgabe 8

Beispiel 1 [3 Punkte]

$f(x)={\frac {1}{\theta }}e^{-x/\theta }$

$L(\theta )=\prod _{i}^{n}f(x_{i},\theta )=\prod _{i}^{n}{\frac {1}{\theta }}e^{-x_{i}/\theta }=\theta ^{-n}\exp(-(\sum x_{i})/\theta )$

$\ln L(\theta )=-n\ln \theta -{\frac {1}{\theta }}\sum x_{i}$

${\frac {d}{d\theta }}\ln L(\theta )=-{\frac {n}{\theta }}-{\frac {1}{-\theta ^{2}}}\sum x_{i}=0$

$-n+{\frac {1}{\theta }}\sum x_{i}=0$

$\theta ={\frac {1}{n}}\sum x_{i}={\overline {X}}_{n}=63.8$

Beispiel 2

Klasse	Xi	Pi0	n*Pi0	(Xi - n*Pi0)^2/nPio
(0,25]	10	1/4	15	1.6
(25,50]	21	1/4	15	2.4
(50,75]	12	1/4	15	0.6
(75,100]	17	1/4	15	0.26
Summe:	60	1	60	4.93

$Q_{3}=4.93,\;\chi _{3,0.9}^{2}=6.251$

$Q_{3}=4.93\ngtr 6.251=\chi ^{2}(3,0.90)$

Also Hypothese (dass die Beobachtungen aus einer uniformen Verteilung stammen) nicht verwerfen!