TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie VO (Gurker)/Pruefung Gurker 2017-10-11

Aufgabe 1

Zeichnen einer empirischen Verteilungsfunktion

Aufgabe 2

Betrachten Sie die folgende -- bereits geordnete -- Stichprobe der Größe $n=19$:

$i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
$x_{i}$	87	87	93	99	103	105	119	129	130	132	138	145	145	152	153	160	180	195	211

• [1] Bestimmen Sie den Median
• [1] Bestimmen Sie die Hinges
• [1] Bestimmen Sie auf Basis der Hinges die Fences.
• [2] Zeichnen Sie in die unten stehende Grafik den Boxplot der Daten.

Aufgabe 3

siehe Aufgabe 3 aus Musterprüfung 2015

Aufgabe 4

Serien/Paralellsystem berechnen (siehe alte Prüfungen)

Aufgabe 5

5.1

[2] Beispiel über medizinische Tests (Bayes Formel) (ähnlich 5.1 aus Prüfung Februar 2017)

5.2

[1] Wenn der Radius eines Kreises zwischen 1 und 3 stetig uniform verteilt ist, welche Kreisfläche kann man erwarten? (Hinweis: LoTUS)

5.3

[2] Welche der folgenden R-Commands generieren $n=100$ unabhängige Realisationen einer exponentialverteilten sG mit Erwatungswert $10$? Begründung? (Hinweis: Inversionsmethode)

u <- runif(100)
x <- -log(1-u)/10

u <- runif(100)
x <- -10*log(10*u)

u <- runif(100)
x <- -10*log(1-u)

Aufgabe 6

6.1

[2] Der Korrelationskoeffizient $\rho$ von zwei sGn $X$, $Y$ mit der gemeinsamen W-Funktion:

$p(x,y)={\frac {1}{3}}$ für $(x,y)=(0,0),(1,1),(1,-1)$

$(p(x,y)=0\ sonst)$ ist gegeben durch:

• $\Box$ $\rho =0$
• $\Box$ $\rho =-1$
• $\Box$ $\rho =1$

6.2

[1] $X$ und $Y$ seien unabhängige nach $N(10,1)$ verteilte sochastische Größen. Dann gilt für $Z=4X-3Y$:

• $\Box$ $Z\sim N(10,1)$
• $\Box$ $Z\sim N(10,25)$
• $\Box$ $Z\sim N(10,7)$

6.3

[2] Normalapproximationsaufgabe über Bedienzeit an der Supermarktkassa (ähnlich 6.2 aus Prüfung Februar 2017)

Aufgabe 7

Zwei Stichproben aus unabhängigen Normalverteilungen waren wie folgt:

> x <- c(101,91,95,94,97,105,100,103,100,98)
> y <- c(90,94,100,96,93,89,97,93)

Mittelwerte, Varianzen, Streuungen:

> c(mean(x), mean(y))
[1] 98.4 94.0
> c(var(x), var(y))
[1] 18.26667 13.14286
> c(sd(x), sd(y))
[1] 4.273952 3.625308

---

7.1

[2] Können beide Varianzen zum Niveau $5\%$ als gleich angesehen werden? Kommentieren Sie dazu den folgenden R-Output:

> var.test(x, y)

        F test to compare two variances

data:  x and y
F = 1.3899, num df = 9, denom df = 7, p-value = 0.6792
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval:
 0.2881593 5.8332866
sample estimates:
ratio of variances 
          1.389855 

7.2

[1] Bestimmen Sie den gepoolten Varianzenschätzer $s_{p}^{2}$.

7.3

[2] Testen Sie unter der Annahme $\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}$ mit $\alpha =5\%$ auf Gleichheit der beiden Mittelwerte, d.h., testen Sie:

${\mathcal {H}}_{0}:\mu _{X}=\mu _{Y}$ gegen ${\mathcal {H}}_{1}:\mu _{X}\neq \mu _{Y}$

Aufgabe 8

8.1

[2] Von 100 zufällig ausgewählten ICs aus einer Produktion waren 23 defekt. Bestimmen Sie den ML-Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit $p$ mit der ein IC dieser Produktion defekt ist. (Mit Herleitung!)

8.2

[1] Forts. der vorherigen Aufgabe: Bestimmen Sie das $95\%$ Wald-Intervall für $p$.

8.3

[1] Stammen die folgenden 200 Beobachtungen aus einer diskreten uniformen Verteilung auf den Zahlen $1,2,3,4,5$? (Testen sie mit $\alpha =10\%$)

x	1	2	3	4	5
Häufigkeit	31	35	41	40	53