TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie VO (Viertl)/Ausarbeitung WS06

Vielen Dank an den Kollegen, der nicht genannt werden möchte und mir diese Ausarbeitung per Mail geschickt hat! Bitte sich daran zu beteiligen! --Markus Nemetz 12:10, 13. Okt 2006 (CEST)

Einleitung

Offizielle Statistik
Angewandte Statistik	+
Theoretische Statistik	= Stochastik
Wahrscheinlichkeitstheorie

Wozu Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung?
"Quantitative Erfassung von Massenphänomenen und Beschreibung von nichtdeterministischen Vorgängen"

Historisches und Grundsätzliches

Statistische Ergebungen: seit ca. 4500 Jahren
Ägypten, China (Militär, Steuer)
seit 550 v. Chr. regelmäßiger "Zensus" im Römischen Reich
1754 erste Volkszählung in NÖ (inkl. Wien)

Universitätsstatistik: seit dem 17. Jhdt. Lehre von den Staatsmerkwürdigkeiten
Name Statistik: ital. statista = Staatsmann
Information zu Bevölkerung, Wirtschaft u.s.w.

Wahrscheinlichkeitsrechnung: Im 16. Jhdt.

Beschreibung von Glücksspielen

Beschreibung von Ungewissheit

verschiedene Wahrscheinlichkeits-Begriffe:

• objektivistisch
• subjektivistisch
• axiomatisch

Stochastik:	στoχαστικός
	στoχαξεσθαι

Kausalität: deterministisch, stochastisch, fuzzy

Begleitende Beispiele:
B1: Statistische Qualitätskontrolle

N...Losumfang, A...Anzahl schlechter Stücke, n...Stichprobenumfang, a...Anzahl schlechter Stücke in der Stichprobe

Problem: Rückschluss auf A

B2: Lebensdauer eines Produktes
B3: Wartezeit bei einer Bedienstelle
B4: Messung von Distanzen
B5: Bremsweg, Kovariable Geschwindigkeit

TODO Kausalitätsgraph

Beschreibende Statistik

Merkmale und Häufigkeiten

Diskrete Merkmale

höchstens abzählbar viele mögliche Werte, die sich nicht häufen

Artmerkmale

A₁, A₂, ..., A_, verschiedene mögliche Werte
n Beobachtungen
H_n(A_j) = Anzahl der Beobachtungen mit Wert A_j

H_n(A_j) absolute Häufigkeit von A_j
h_n(A_j) := ${\frac {H_{n}(A_{j})}{n}}$

Darstellung von Häufigkeitsverteilungen:

• Strichlisten
• Balkendiagramme
• Kreisdiagramme

TODO Häufigkeitstabelle

Balkendiagramm: Höhen der Balken proportional zu den Häufigkeiten TODO Balkendiagramm

Kreisdiagramm: Sektorenflächen proportional zu den Häufigkeiten TODO Kreisdiagramm

Ordnungsmerkmale (größer-Beziehung)

oft durch Zahlen dargestellt

z₁, z₂, ..., z_m verschiedene mögliche Werte
Für n Beobachtungen
h_n(z_j) für j = 1(1)m

Darstellung der Häufigkeitsverteilung

• Stabdiagramm
• Summenkurve

Sind die Merkmalsausprägungen Zahlen, z₁, z₂, ..., z_m, so stellt man die Häufigkeiten in FOrm eines Stabdiagrammes dar. TODO Stabdiagramm

Manchmal werden Summenhäufigkeiten
${\sum _{j=1}^{i}}h_{n}\left(z_{j}\right)$, i = 1(1)m
gewünscht und als reelle Funktion dargestellt:
TODO Summenkurve

Kontinuierliche Merkmale

können alle Zahlen aus einem Intervall annehmen
Für n Beobachtungen x₁, x₂, ..., x_n
Darstellung der Häufigkeitsverteilung als Empirische Verteilungsfunktion F_n^*(.)
F_n^*(x) := h_n((-∞, x]) für jedes

$x\in \mathbb {R}$

Ordnungsstatistik x₍₁₎≤x₍₂₎≤...≤x_(n) TODO Diagramm 2.10
TODO Diagramm 2.11
TODO Diagramm 2.12
Für größere n bildet man Klassen
TODO Formatierung
relative Häufigkeiten der Klassen
Darstellung:

• Histogramm
• Summenpolygon S_n(x)

Theoretisches Modell:

• Wahrscheinlichkeitsdichte
• Verteilungsfunktion

TODO Kontinuierliche Merkmale
TODO Diagramm 2.15
TODO Typen von Histogrammen (Verteilungen)

Lageparameter

numerische Daten x₁, x₂, ..., x_n

Mittelwert

TODO Formel
Für klassierte Daten mit m Klassen und Klassenhäufigkeiten H_n(K_j) sowie Klassenmitten z_j, j = 1(1):
TODO Formel
TODO QUEST wo bleibt b)???

Empirische Fraktile

Für p ∈ (0, 1) jener Wert x_p, für den das Summenpolygon den Funktionswert p hat
S_n(x_p) = p
Bemerkung: Für theoretische Verteilungen mittels der sogenannten Verteilungsfunktion

Modalwert (= empirischer Modus)

Jener Merkmalwert, der am häufigsten auftritt
TODO Diagramm 2.15

Streuungsparameter

Daten x₁, x₂, ..., x_n

Spannweite

= x_(n) - x₍₁₎ = TODO Formel

Quartilabstand

= x_0,75 - x_0,25

Mittlere absolute Abweichung

x TODO unterwellt Median MAD = TODO Formel mean absolute deviation

Mittlere quadratische Abweichung (empirische Varianz)

TODO Formel

Empirische Streuung

TODO Formel

Empirischer Varianzkoeffizient

TODO Formel
Dimensionsloses Streumaß
Bsp.: Variabilität der Preise in verschiedenen Ländern

Ziel der schließenden Statistik ist es, den empirisch gegebenen Verteilungen (Histogrammen) theoretische Verteilungen (Wahrscheinlichkeitsdichten) anzupassen, die erstere "gut" beschreiben. TODO Diagramm
Bemerkung: Die theoretischen Verteilungen braucht man für Vergleiche und Prognosen.

Wahrscheinlichkeitsbegriffe

Statistischer Versuch

Wiederholbare Handlung mit mehr oder weniger ungewissem Ausgang

Wahrscheinlichkeiten

Zahlen, die den Grad des Vertrauens in Ereignisse angeben

Ereignis

Eine Menge von möglichen Versuchsausgängen

M...Merkmalraum

Menge der möglichen Versuchsausgänge

Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition

m mögliche verschiedene Versuchsausgänge
M = {a₁, a₂, ..., a_m}
Ereignis A = {a_i1, ..., a_im}, i_j ∈ {1, ..., m}

A enthält g Elemente

W(A) ... Wahrscheinlichkeit von A W(A) := TODO Formel g/m Anwendung: B1 (SQK)

Geometrische Wahrscheinlichkeiten

Merkmalraum ∞, M ⊆TODO Formel mit I(M) < ∞
alle Teilräume von M mit gleichem Inhalt sind gleich wahrscheinlich
Für A ⊆ M definiert man W(A) := TODO Formal I(A)/I(M)
Bemerkung:

k = 1 Länge

k = 2 Fläche

k = 3 Volumen

Bsp.: Zufällige Ankunft in [a, b]
Teilintervall [a₁, b₁] ⊂ [a, b]

Bsp.: Rendezvous-Problem
2 Ankünfte in [a, b], unabhängig
TODO Graph

Grenzwert von Häufigkeiten

Konvergenzverhalten von h_n(A) für n → ∞
Empirisches Gesetz der großen Zahlen
TODO h_n(A) PFEIL p = W(A), A fest
Es gilt 0 ≤ h_n(A) ≤ 1 ∀ Ereignisse A
A ∧ B unmöglich ⇒ h_n(A ∨ B) = h_n(A) + h_n(B)
Bemerkung: Theorie der Kollektive
TODO Digramm Ereignis A ≙ gerade Augenzahl

Axiomatische Wahrscheinlichkeiten

TODO AA, EE, o und e durch spez. Zeichen ersetzen!
Ereignissystem AA orthokomplementärer Verband, σ-vollständig

o

unmögliches Ereignis

e

sicheres Ereignis

A^⊥

das zu A komplementäre Ereignis

A ∧ A^⊥ = o und A ∨ A^⊥ = e
A₁, A₂, A₃, ... Folge mit A_k ∈ AA ⇒ TODO Formel fertigstellen

Wahrscheinlichkeitsverteilung W auf AA
W: AA → [0, 1] mit W(o) = 0 und W(e) = 1
Für jede Folge A₁, A₂, A₃, ... von einander paarweise ausschließenden Ereignissen gilt TODO Formel

Bemerkung: Endliche Additivität folgt daraus W(A^⊥) = 1 - W(A)

Subjektive Wahrscheinlichkeiten

Bewertungen der Unsicherheit bedingt durch den Wissensstand H: W(A|H) ∈ TODO R
Ereignisse: A, B; es muss gelten:

1. 0 ≤ W(A|H) ≤ 1
2. Falls A und B einander ausschließen gilt W(A∨B|H) = W(A|H) + W(B|H)
3. Falls neue Information verfügbar: A eingetreten W(A∧B|H) = W(B|A∧H) × W(A|H)

Unscharfe Wahrscheinlichkeiten

Wahrscheinlichkeiten sind unscharfe Zahlen (vgl. S. 9), die gewisse Bedingungen erfüllen