TU Wien Nav:Mathematik für Informatik (Buch)/1.9b

Man zeige $\left|{\frac {z_{1}+z_{2}}{2}}\right|^{2}+\left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{2}}\right|^{2}={\frac {1}{2}}(|z_{1}|^{2}+{|z_{2}|}^{2})$

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Lösungsvorschlag von Aaaaaadm

Sei:

${\begin{aligned}\exists a,b:z_{1}=a+bi\\\exists c,d:z_{2}=c+di\end{aligned}}$

Dann können wir die Angabe umschreiben als:

$\left|{\frac {a+bi+c+di}{2}}\right|^{2}+\left|{\frac {a+bi-c-di}{2}}\right|^{2}={\frac {1}{2}}(|a+bi|^{2}+|c+di|^{2})$

Jetzt können wir den Betrag nehmen (Erinnerung: $|a+bi|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$) und mit dem hoch 2 die Wurzel auflösen:

${\frac {(a+c)^{2}}{4}}+{\frac {(b+d)^{2}}{4}}+{\frac {(a-c)^{2}}{4}}+{\frac {(b-d)^{2}}{4}}={\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}+{\frac {c^{2}+d^{2}}{2}}$

Anschließend multiplizieren wir mit 4:

$a^{2}+2ac+c^{2}+b^{2}+2bd+d^{2}+a^{2}-2ac+c^{2}+b^{2}-2bd+d^{2}=2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+2d^{2}$

Jetzt müssen wir nur noch vereinfachen:

${\begin{aligned}a^{2}+c^{2}+b^{2}+d^{2}+a^{2}+c^{2}+b^{2}+d^{2}&=2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+2d^{2}\\2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+2d^{2}&=2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+2d^{2}\\0&=0\end{aligned}}$

qed.

--Aaaaaadm 17:53, 25. Nov. 2023 (CET)