TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS12/Beispiel 37

Man berechne alle Werte von ${\sqrt {7+24i}}=a+bi$ ohne Benützung der trigonometrischen Darstellung.

(Hinweis: Man quadriere die zu lösende Gleichung und vergleiche Real- und Imaginärteile).

Lösung aus WS 2010: TU_Wien:Mathematik_1_UE_(diverse)/Übungen_WS10/Beispiel_50

Bei diesen Zahlen kann man auch durch einfaches Ausprobieren auf die Lösung kommen:

${\begin{aligned}{\sqrt {7+24i}}&=a+bi\\7+24i&=a^{2}-b^{2}+2abi\end{aligned}}$

Realteil:

${\begin{aligned}7=a^{2}-b^{2}\end{aligned}}$

Immaginärteil:

${\begin{aligned}24i=2abi\\12=ab\end{aligned}}$

Ausprobieren:

${\begin{aligned}{\begin{array}{|c|c||c|c|}a&b&ab&a^{2}-b^{2}\\\hline 2&6&12&-32\\6&2&12&32\\3&4&12&-7\\4&3&12&7\end{array}}\end{aligned}}$

Man sieht, dass die unterste Zeile die richtigen Werte für a und b enthält. Die andere Lösung sind die negativen Werte, weil wir sie ja multiplizieren und quadrieren und so das Minus "vernichten".

Die Lösungen sind also

$4+3i$

und

$-4-3i$

--Slaybert 16:21, 27. Jun. 2012 (CEST)