TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS12/Beispiel 37

Man berechne alle Werte von $\sqrt{7+24i}=a+bi$ ohne Benützung der trigonometrischen Darstellung.

(Hinweis: Man quadriere die zu lösende Gleichung und vergleiche Real- und Imaginärteile).

Lösung aus WS 2010: TU_Wien:Mathematik_1_UE_(diverse)/Übungen_WS10/Beispiel_50

Bei diesen Zahlen kann man auch durch einfaches Ausprobieren auf die Lösung kommen:

$\begin{array}{cc}\sqrt{7+24i}& =a+bi\\ 7+24i& =a^2-b^2+2abi\end{array}$

Realteil:

$\begin{array}{c}7=a^2-b^2\end{array}$

Immaginärteil:

$\begin{array}{c}24i=2abi\\ 12=ab\end{array}$

Ausprobieren:

$\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}a& b& ab& a^2-b^2\\ 2& 6& 12& -32\\ 6& 2& 12& 32\\ 3& 4& 12& -7\\ 4& 3& 12& 7\end{array}\end{array}$

Man sieht, dass die unterste Zeile die richtigen Werte für a und b enthält. Die andere Lösung sind die negativen Werte, weil wir sie ja multiplizieren und quadrieren und so das Minus "vernichten".

Die Lösungen sind also

$4+3i$

und

$-4-3i$

--Slaybert 16:21, 27. Jun. 2012 (CEST)