TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS12/Beispiel 37

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Man berechne alle Werte von \sqrt{7 + 24i} = a + bi ohne Benützung der trigonometrischen Darstellung.

(Hinweis: Man quadriere die zu lösende Gleichung und vergleiche Real- und Imaginärteile).

Lösung aus WS 2010: TU_Wien:Mathematik_1_UE_(diverse)/Übungen_WS10/Beispiel_50

Bei diesen Zahlen kann man auch durch einfaches Ausprobieren auf die Lösung kommen:


\begin{align}
\sqrt{7+24i} &= a+bi \\
7+24i &= a^{2}-b^{2}+2abi
\end{align}

Realteil:


\begin{align}
7 = a^{2}-b^{2}
\end{align}

Immaginärteil:


\begin{align}
24i = 2abi \\
12 = ab
\end{align}


Ausprobieren:


\begin{align}
\begin{array}{|c|c||c|c|}

  a & b & ab & a^2-b^2\\
  \hline
  2 & 6 & 12 & -32 \\
  6 & 2 & 12 & 32 \\
  3 & 4 & 12 & -7 \\
  4 & 3 & 12 & 7
\end{array}
\end{align}

Man sieht, dass die unterste Zeile die richtigen Werte für a und b enthält. Die andere Lösung sind die negativen Werte, weil wir sie ja multiplizieren und quadrieren und so das Minus "vernichten".

Die Lösungen sind also


4+3i

und

-4-3i

--Slaybert 16:21, 27. Jun. 2012 (CEST)