TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 168

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Wieviel verschiedene Tips müssen beim Lotto "6 aus 45" abgegeben werden, um sicher einen Sechser zu erzielen? Wieviele verschiedene Tips führen zu keinem Gewinn (d.h. max. 2 richtige Zahlen), bei wievielen möglichen Tips stimmt mindestens eine, bei wievielen sind alle Zahlen falsch?

Hilfreiches[Bearbeiten]

Binomialkoeffizient[Bearbeiten, WP, 2.03 Definition]

\forall n,k\in\mathbb{N}, k\leq n:\qquad\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Äquivalente Definition (Merkregel):

\binom{n}{k}=
\frac{\overbrace{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots(n-k+1)}^{k\;\text{Glieder}}}
{\underbrace{1\cdot2\cdots k}_{k\;\text{Glieder}}}

Spezialfall: \tbinom{n}{0}:=1

  • Produktregel: Für stochastisch unabhängige Ereignisse A und B werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert. Diese Regel wird verwendet, wenn man "Sowohl Ereignis A als auch Ereignis B sollen eintreffen" sagen kann.
  • Summenregel: Für stochastisch abhängige Ereignisse A und B werden die Wahrscheinlichkeiten addiert. Diese Regel wird verwendet, wenn man "Es trifft entweder Ereignis A oder Ereignis B oder beide gleichzeitig" sagen kann.

Lösung[Bearbeiten]

Tipps, um sicher einen Sechser zu erzielen[Bearbeiten]

Es gibt {45 \choose 6} mögliche Tipps, davon ist einer ein Sechser, also müssen {45 \choose 6} Tipps abgegeben werden.

Tipps ohne Gewinn (max. zwei richtig)[Bearbeiten]

Bei den Tipps wendet man folgende Argumentation an: Wir ziehen 0, 1 oder 2 Zahlen aus den richtigen 6 Zahlen und enstprechend 6, 5 oder 4 Zahlen aus den nicht richtigen restlichen 39 Zahlen. Anders gesagt, für 2 Richtige muss man 4 Zahlen aus den 6 gezogenen Gewinnzahlen und die restlichen 2 aus den 39 Nieten ankreuzen.

  • Mögliche Tipps ohne richtige Zahlen {6 \choose 0}{39 \choose 6}
  • Mögliche Tipps mit 1 richtigen Zahl {6 \choose 1}{39 \choose 5}
  • Mögliche Tipps mit 2 richtigen Zahlen {6 \choose 2}{39 \choose 4}

Für alle möglichen Tipps ohne Gewinn müssen die möglichen Tipps nun addiert werden.

Tipps ohne Gewinn {6 \choose 0}{39 \choose 6} + {6 \choose 1}{39 \choose 5} + {6 \choose 2}{39 \choose 4} = 7950930

Tipps mit mindestens 1 richtigen[Bearbeiten]

Hier ist die Gegenwahrscheinlichkeit gefragt. Statt dass man die die Anzahl der Tipps mit 1, 2, ... 6 Richtigen berechnet, berechnet man alle möglichen Tipps und zieht die Tipps mit 0 richtigen Zahlen ab.

  • Mögliche Tipps: {45 \choose 6}
  • Tipps ohne richtige Zahlen: {6 \choose 0}{39 \choose 6}
  • Tipps mit mindestens einer Richtigen: {45 \choose 6}-{6 \choose 0}{39 \choose 6}=4882437

Tipps ohne richtige Zahlen[Bearbeiten]

  • Tipps ohne richtige Zahlen: {6 \choose 0}{39 \choose 6}=3262623

-- Isofx 15:39, 30. Jan. 2012 (CET)

-- Superwayne (Diskussion) 18:17, 16. Nov. 2014 (CET) (Ergänzungen)