TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 372

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Man zeige, daß die von \overline{3} erzeugte Untergruppe U von \langle\mathbb{Z}_{9}, +\rangle ein Normalteiler von \langle\mathbb{Z}_{9}, +\rangle ist und bestimme die Gruppentafel der Faktorgruppe \mathbb{Z}_{9}/U.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Normalteiler
Normalteiler[Bearbeiten, WP, 2.58 Definition]

Eine Untergruppe N\leq G heißt Normalteiler, wenn stets LNK = RNK gilt, d.h. aN=Na, \forall a\in G. Für Normalteiler gilt: Die Menge der Nebenklassen \{aN \mid a\in G\} bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe G/N.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Wir betrachten die kommutative Gruppe \langle\mathbb{Z}_{9}, +\rangle wobei \mathbb{Z}_{9} = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}. Die von 3 erzeugte Untergruppe ist gegeben durch {U} =\langle{3}\rangle =  {0,3,6} Zu beachten: 3+3+3 = 0

{U} ist Normalteiler, da + kommutativ ist, und wir haben 3 Nebenklassen:

0+{U} = {U} = 3 +{U} = 6+{U}

1+{U}= 1,4,7 = 4+{U} = 7+{U}

2+{U}= 2,5,8 = 5+{U}= 8+{U}

Somit ist \mathbb{Z}_{9}/{U} = {U}, 1+{U}, 2+{U} mit der Operationstafel:

\begin{array}{c|ccc}
+ & U&1+U&2+U\\\hline
U & U&1+U&2+U\\
1+U & 1+U&2+U&U\\
2+U & 2+U&U&1+U
\end{array}

Die Verknüpfung der Nebenklassen erfolgt nach der Regel: (a+U) + (b+U) = (a+b)+U

Siehe auch:[Bearbeiten]

Ähnliche Beispiele:

  Beispiel 259
  Beispiel 260
  Beispiel 261

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