TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 379

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Sei \varphi : G \to H ein Gruppenhomomorphismus. Man zeige, dass dann \varphi (G) eine Untergruppe von H ist.

Hinweis: Das Beispiel entspricht der Übungsaufgabe 2.36 aus dem Buch Mathematik für Informatik.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Homomorphismus[Bearbeiten]

Seien (G, \circ) und (H, \star) Gruppen.

Eine Abbildung \varphi:G\rightarrow H heißt Homomorphismus, falls gilt: \varphi(a\circ b)=\varphi(a)\star\varphi(b)\quad\forall a,b\in G.

Lösung[Bearbeiten]

Damit \varphi (G) eine Untergruppe von H ist, müssen folgende Kriterien gelten:

  • \varphi (G) muss eine nicht leere Teilmenge von H sein, was trivialerweise stimmt
  • \varphi (G) muss eine Gruppe sein (es müssen also Abgeschlossenheit, Assoziativität, Existenz von neutralem und inversen Element gelten)

Da der erste Punkt natürlich stimmt (jedes Element von G wird mittels \varphi() auf ein Element aus H abgebildet, von daher muss \varphi(G) eine nichtleere Teilmenge von H sein), prüfen wir die Gruppeneigenschaften.

Assoziativität muss nicht geprüft werden, da es sich sowieso von der Obergruppe überträgt.

Abgeschlossenheit[Bearbeiten]

Für alle a, b aus G muss gelten: \varphi (a) \star \varphi (b) \in \varphi(G)

Aufgrund der Eigenschaften eines Homomorphismus wissen wir:

\varphi (a) \star \varphi (b) = \varphi (a \bullet b)

Davon wissen wir jedoch:

 \varphi (a \bullet b) \in \varphi(G), da a \bullet b \in G

Existenz eines neutralen Elements[Bearbeiten]

Im folgenden bezeichne ich das neutrale Element von G als e_{G} und das von H als e_{H}

Wir wissen, dass das neutrale Element mit sich selbst verknüpft, wieder das neutrale Element ergibt:

e_{G} \bullet e_{G} = e_{G}

Wenden wir den Homomorphismus darauf an:

\varphi (e_{G}) \star \varphi (e_{G}) = \varphi(e_{G})

Nun "multiplizieren" wir auf beiden Seiten mit \varphi (e_{G})^{-1}. Übrig bleibt:

\varphi (e_{G}) = e_{H}

So wurde gezeigt, dass der Homomorphismus das neutrale Element von G auf das neutrale Element von H abbildet, dieses ist daher Element aus phi(G) und dort wieder neutrales Element.

Existenz eines inversen Elements[Bearbeiten]

Für jedes \varphi (a) gibt es ein \varphi (a)^{-1} \in H. Wir müssen nun zeigen, dass dieses ebenfalls in \varphi (G) liegt. Dies prüfen wir. Wir fangen wieder mit einer offensichtlichen Formel an:

a \bullet a^{-1} = e_{G}

Wird der Homomorphismus darauf angewandt:

\varphi (a) \star \varphi (a^{-1}) = \varphi(e_{G}) = e_{H}

Dass \varphi(e_{G}) das neutrale Element von H ist, haben wir bereits oben gezeigt.

Nun verknüpfen wir auf beiden Seiten von links mit \varphi(a)^{-1}. Übrig bleibt:

\varphi (a^{-1}) = \varphi (a)^{-1}

Somit haben wir gezeigt, dass \varphi (a^{-1}) das inverse Element von \varphi (a) ist. Dieses liegt natürlich ebenfalls in \varphi (G).

Somit ist bewiesen, dass \varphi (G) eine Untergruppe von H ist.


Alternative kürzere Lösung[Bearbeiten]

Laut Gittenberger ist der Weg zwar richtig, aber unnötig lang. Es reiche einfach das Untergruppenkriterium anzuwenden:

zz:

  1. \varphi (G) ist eine nicht leere Teilmenge von H, trivial, da sonst die Abbildung \varphi (G) nicht existieren würde.
  2.  a * b ^{-1} muss ebenfalls in \varphi (G) liegen. Nun, auch das ist schnell getan.
    Sagen wir a = \varphi(c), b = \varphi(d)
    Dann muss man nur noch den Homomorphiesatz anwenden: \varphi (c) * \varphi(d^{-1}) ist das gleiche wie \varphi(c \bullet d^{-1})
    und dieser Ausdruck muss in \varphi(G) sein, da G eine Gruppe ist.

Damit ist gezeigt, dass \varphi(G) eine Untergruppe von H ist.

Anmerkung[Bearbeiten]

Dieses Beispiel wird in der Wikipedia unter Gruppenhomomorphismus betrachtet. Für mich war es dort etwas besser verständlich.