TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 384

Sei $\varphi :G\to H$ ein Gruppenhomomorphismus. Man zeige, dass dann $\varphi (G)$ eine Untergruppe von $H$ ist.

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Hinweis: Das Beispiel entspricht der Übungsaufgabe 2.36 aus dem Buch Mathematik für Informatik.

Hilfreiches

Homomorphismus

Homomorphismus

Seien $(G,\circ )$ und $(H,\star )$ Gruppen.

Eine Abbildung $\varphi :G\rightarrow H$ heißt Homomorphismus, falls gilt: $\varphi (a\circ b)=\varphi (a)\star \varphi (b)\quad \forall a,b\in G$.

Lösung

Damit $\varphi (G)$ eine Untergruppe von H ist, müssen folgende Kriterien gelten:

• $\varphi (G)$ muss eine nicht leere Teilmenge von H sein, was trivialerweise stimmt
• $\varphi (G)$ muss eine Gruppe sein (es müssen also Abgeschlossenheit, Assoziativität, Existenz von neutralem und inversen Element gelten)

Da der erste Punkt natürlich stimmt (jedes Element von $G$ wird mittels $\varphi ()$ auf ein Element aus $H$ abgebildet, von daher muss $\varphi (G)$ eine nichtleere Teilmenge von $H$ sein), prüfen wir die Gruppeneigenschaften.

Assoziativität muss nicht geprüft werden, da es sich sowieso von der Obergruppe überträgt.

Abgeschlossenheit

Für alle $a,b$ aus $G$ muss gelten: $\varphi (a)\star \varphi (b)\in \varphi (G)$

Aufgrund der Eigenschaften eines Homomorphismus wissen wir:

$\varphi (a)\star \varphi (b)=\varphi (a\bullet b)$

Davon wissen wir jedoch:

$\varphi (a\bullet b)\in \varphi (G)$, da $a\bullet b\in G$

Existenz eines neutralen Elements

Im folgenden bezeichne ich das neutrale Element von G als $e_{G}$ und das von H als $e_{H}$

Wir wissen, dass das neutrale Element mit sich selbst verknüpft, wieder das neutrale Element ergibt:

$e_{G}\bullet e_{G}=e_{G}$

Wenden wir den Homomorphismus darauf an:

$\varphi (e_{G})\star \varphi (e_{G})=\varphi (e_{G})$

Nun "multiplizieren" wir auf beiden Seiten mit $\varphi (e_{G})^{-1}$. Übrig bleibt:

$\varphi (e_{G})=e_{H}$

So wurde gezeigt, dass der Homomorphismus das neutrale Element von G auf das neutrale Element von H abbildet, dieses ist daher Element aus phi(G) und dort wieder neutrales Element.

Existenz eines inversen Elements

Für jedes $\varphi (a)$ gibt es ein $\varphi (a)^{-1}\in H$. Wir müssen nun zeigen, dass dieses ebenfalls in $\varphi (G)$ liegt. Dies prüfen wir. Wir fangen wieder mit einer offensichtlichen Formel an:

$a\bullet a^{-1}=e_{G}$

Wird der Homomorphismus darauf angewandt:

$\varphi (a)\star \varphi (a^{-1})=\varphi (e_{G})=e_{H}$

Dass $\varphi (e_{G})$ das neutrale Element von H ist, haben wir bereits oben gezeigt.

Nun verknüpfen wir auf beiden Seiten von links mit $\varphi (a)^{-1}$. Übrig bleibt:

$\varphi (a^{-1})=\varphi (a)^{-1}$

Somit haben wir gezeigt, dass $\varphi (a^{-1})$ das inverse Element von $\varphi (a)$ ist. Dieses liegt natürlich ebenfalls in $\varphi (G)$.

Somit ist bewiesen, dass $\varphi (G)$ eine Untergruppe von $H$ ist.

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Alternative kürzere Lösung

Laut Gittenberger ist der Weg zwar richtig, aber unnötig lang. Es reiche einfach das Untergruppenkriterium anzuwenden:

zz:

1. $\varphi (G)$ ist eine nicht leere Teilmenge von H, trivial, da sonst die Abbildung $\varphi (G)$ nicht existieren würde.
2. $a*b^{-1}$ muss ebenfalls in $\varphi (G)$ liegen. Nun, auch das ist schnell getan.
   Sagen wir a = $\varphi (c)$, b = $\varphi (d)$
   Dann muss man nur noch den Homomorphiesatz anwenden: $\varphi (c)*\varphi (d^{-1})$ ist das gleiche wie $\varphi (c\bullet d^{-1})$
   und dieser Ausdruck muss in $\varphi (G)$ sein, da G eine Gruppe ist.

Damit ist gezeigt, dass $\varphi (G)$ eine Untergruppe von H ist.

Anmerkung: $\varphi (c)*\varphi (d^{-1})$ = $\varphi (c\bullet d^{-1})$
Soweit ich das verstanden habe ist das oben aber nicht wegen dem Homomorphiesatz gültig sondern folgt direkt aus dem Homomorphismus.

Anmerkung

Dieses Beispiel wird in der Wikipedia unter Gruppenhomomorphismus betrachtet. Für mich war es dort etwas besser verständlich.