TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 397

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Man bestimme die "primen" Restklassen modulo 9, d.h. alle Restklassen \overline{a} mit ggT(a, 9)=1. Man zeige, daß die Menge \Gamma_9 dieser primen Restklassen bezüglich der Restklassenmultiplikation eine Gruppe bildet.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Gruppe
Gruppe[Bearbeiten]

Eine Gruppe (G, \circ) ist

  • abgeschlossen bzgl. der Operation \circ in G,
  • assoziativ: \forall a,b,c\in G:\quad a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c,
  • beinhaltet ein neutrales Element e: \quad\forall a:\quad a\circ e=a
  • sowie inverse Elemente: \forall a\quad\exists a^{-1}:\quad a\circ a^{-1}=e.

Lösung von Baccus[Bearbeiten]

\Gamma_9= {1,2,4,5,7,8}

Operationstafel:

\begin{array}{c|cccccc}
* & 1&2&4&5&7&8\\\hline
1 & 1&2&4&5&7&8\\
2 & 2&4&8&1&5&7\\
4 & 4&8&7&2&1&5\\
5 & 5&1&2&7&8&4\\
7 & 7&5&1&8&4&2\\
8 & 8&7&5&4&2&1
\end{array}

Hieraus kann man ablesen:

  • Die Operation ist abgeschlossen
  • \exists neutrales Element ("1")
  • \forall Elemente \exists inverses Element (in allen Zeilen/Spalten kommt "1" vor)

Da \Gamma_9<\mathbb Z und Assoziativität schon in \mathbb Z gegeben ist, auch in \Gamma_9.

Alle Gruppenbedingungen sind erfüllt.

Links[Bearbeiten]

Ähnliche Beispiele:

Wikipädia: